揭秘<九章算术>“二鼠打洞”问题：几天相遇各穿几何？

大鼠每天打洞的进度是：第一天 1 尺，第二天 2 尺，第三天 4 尺，第四天 8 尺，以此类推。 小鼠每天打洞的进度是：第一天 1 尺，第二天 0.5 尺，第三天 0.25 尺，第四天 0.125 尺，以此类推。 设相遇需要 n 天。 那么前 n 天大鼠打洞的总长度为 \(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{n - 1}\) ，这是一个首项为 1，公比为 2 的等比数列前 n 项和，其和为 \(2^n - 1\) 。 前 n 天小鼠打洞的总长度为 \(1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + \cdots + (\frac{1}{2})^{n - 1}\) ，这是一个首项为 1，公比为 \(\frac{1}{2}\) 的等比数列前 n 项和，其和为 \(2 - (\frac{1}{2})^{n - 1}\) 。 两鼠相遇时打洞的总长度为 10 尺，所以可得方程： \(2^n - 1 + 2 - (\frac{1}{2})^{n - 1} = 10\) 通过试算可得 n = 3 时， 大鼠打洞长度为 \(2^3 - 1 = 7\) 尺， 小鼠打洞长度为 \(2 - (\frac{1}{2})^{2} = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}\) 尺。 两鼠在第三天相遇，大鼠穿 7 尺，小鼠穿 \(\frac{7}{4}\) 尺。 ######[AI写代码神器 | 438点数解答 | 2024-11-12 20:42:52]