正整数 \(a\)、\(b\) 满足特定条件下 \(\frac{a^{2}+b^{2}}{ab + 1}\) 为整数平方的证明

### 证明思路 采用反证法，假设存在正整数 \(a\)、\(b\) 使得 \(\frac{a^{2}+b^{2}}{ab + 1}=k\) 且 \(k\) 不是完全平方数，然后通过构造方程，利用韦达定理找到一组更小的正整数解，从而产生矛盾。 ### 证明过程 设正整数 \(a\)、\(b\) 满足 \(\frac{a^{2}+b^{2}}{ab + 1}=k\)，其中 \(k\) 是正整数。不妨设 \(a\geq b\)，且在所有满足条件的数对 \((a,b)\) 中，\(a\) 是最小的。 考虑关于 \(x\) 的一元二次方程 \(x^{2}-kbx+(b^{2}-k)=0\)，已知 \(x = a\) 是该方程的一个根。 根据韦达定理，对于一元二次方程 \(Ax^{2}+Bx + C = 0\)（\(A\neq0\)），两根 \(x_1\)、\(x_2\) 有 \(x_1 + x_2=-\frac{B}{A}\)，\(x_1x_2=\frac{C}{A}\)。 对于方程 \(x^{2}-kbx+(b^{2}-k)=0\)，设另一个根为 \(a'\)，则有： - \(a + a'=kb\)，所以 \(a'=kb - a\)，因为 \(a,b,k\) 都是整数，所以 \(a'\) 是整数。 - \(aa'=b^{2}-k\)，所以 \(a'=\frac{b^{2}-k}{a}\)。 下面证明 \(a'\) 是正整数： 因为 \(k=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab + 1}\)，所以 \(a'=\frac{b^{2}-\frac{a^{2}+b^{2}}{ab + 1}}{a}=\frac{b^{2}(ab + 1)-(a^{2}+b^{2})}{a(ab + 1)}=\frac{ab^{3}+b^{2}-a^{2}-b^{2}}{a(ab + 1)}=\frac{ab^{3}-a^{2}}{a(ab + 1)}=\frac{b^{3}-a}{ab + 1}\)。 又因为 \(a + a'=kb\)，若 \(a'\leq0\)，则 \(a\geq kb\)，那么 \(k=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab + 1}\geq\frac{k^{2}b^{2}+b^{2}}{kb\cdot b + 1}=\frac{(k^{2}+1)b^{2}}{kb^{2}+1}>k\)，这产生矛盾，所以 \(a'\) 是正整数。 由 \(aa'=b^{2}-k\) 可得 \(a'=\frac{b^{2}-k}{a}<a\)（因为 \(b^{2}-k < a^{2}\)），这与 \(a\) 是满足条件的最小正整数矛盾。 所以假设不成立，即 \(k\) 一定是某个整数的平方，也就是 \(\frac{a^{2}+b^{2}}{ab + 1}\) 是某个整数的平方。 ######[AI问答 | 808点数解答 | 2026-04-24 19:09:11]