公司员工选组问题：计算满足条件的选择方式数量

本题可采用分类讨论的方法，根据不同部门的人员分配情况来计算选择方式的数量。 ### 步骤一：分析人员分配情况 因为要从三个部门选\(4\)人且每个部门至少有\(1\)人，所以人员分配情况只能是一个部门\(2\)人，另外两个部门各\(1\)人。那么有以下三种情况： 1. A 部门\(2\)人，B 部门\(1\)人，C 部门\(1\)人； 2. A 部门\(1\)人，B 部门\(2\)人，C 部门\(1\)人； 3. A 部门\(1\)人，B 部门\(1\)人，C 部门\(2\)人。 ### 步骤二：计算每类情况的选择方式数量 本题可根据组合数公式\(C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}\)来计算每种情况的组合数，其中\(n\)表示总数，\(k\)表示选取的个数，且\(n! = n\times(n - 1)\times(n - 2)\times\cdots\times1\)。 #### 情况一：A 部门\(2\)人，B 部门\(1\)人，C 部门\(1\)人 - 从\(A\)部门\(4\)名员工中选\(2\)人的组合数为\(C_{4}^2\)： \[ \begin{align*} C_{4}^2&=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}\\ &=\frac{4\times3\times2\times1}{(2\times1)\times(2\times1)}\\ &=6 \end{align*} \] - 从\(B\)部门\(3\)名员工中选\(1\)人的组合数为\(C_{3}^1\)： \[ \begin{align*} C_{3}^1&=\frac{3!}{1!(3 - 1)!}\\ &=\frac{3\times2\times1}{(1)\times(2\times1)}\\ &=3 \end{align*} \] - 从\(C\)部门\(3\)名员工中选\(1\)人的组合数为\(C_{3}^1\)： \[ \begin{align*} C_{3}^1&=\frac{3!}{1!(3 - 1)!}\\ &=\frac{3\times2\times1}{(1)\times(2\times1)}\\ &=3 \end{align*} \] 根据分步乘法计数原理，完成一件事需要\(n\)个步骤，做第\(1\)步有\(m_1\)种不同的方法，做第\(2\)步有\(m_2\)种不同的方法……做第\(n\)步有\(m_n\)种不同的方法，那么完成这件事共有\(N = m_1\times m_2\times\cdots\times m_n\)种不同的方法。所以这种情况下的选择方式有\(C_{4}^2\times C_{3}^1\times C_{3}^1 = 6\times3\times3 = 54\)种。 #### 情况二：A 部门\(1\)人，B 部门\(2\)人，C 部门\(1\)人 - 从\(A\)部门\(4\)名员工中选\(1\)人的组合数为\(C_{4}^1\)： \[ \begin{align*} C_{4}^1&=\frac{4!}{1!(4 - 1)!}\\ &=\frac{4\times3!}{1\times3!}\\ &=4 \end{align*} \] - 从\(B\)部门\(3\)名员工中选\(2\)人的组合数为\(C_{3}^2\)： \[ \begin{align*} C_{3}^2&=\frac{3!}{2!(3 - 2)!}\\ &=\frac{3\times2\times1}{(2\times1)\times(1)}\\ &=3 \end{align*} \] - 从\(C\)部门\(3\)名员工中选\(1\)人的组合数为\(C_{3}^1\)： \[ \begin{align*} C_{3}^1&=\frac{3!}{1!(3 - 1)!}\\ &=\frac{3\times2\times1}{(1)\times(2\times1)}\\ &=3 \end{align*} \] 所以这种情况下的选择方式有\(C_{4}^1\times C_{3}^2\times C_{3}^1 = 4\times3\times3 = 36\)种。 #### 情况三：A 部门\(1\)人，B 部门\(1\)人，C 部门\(2\)人 - 从\(A\)部门\(4\)名员工中选\(1\)人的组合数为\(C_{4}^1\)： \[ \begin{align*} C_{4}^1&=\frac{4!}{1!(4 - 1)!}\\ &=\frac{4\times3!}{1\times3!}\\ &=4 \end{align*} \] - 从\(B\)部门\(3\)名员工中选\(1\)人的组合数为\(C_{3}^1\)： \[ \begin{align*} C_{3}^1&=\frac{3!}{1!(3 - 1)!}\\ &=\frac{3\times2\times1}{(1)\times(2\times1)}\\ &=3 \end{align*} \] - 从\(C\)部门\(3\)名员工中选\(2\)人的组合数为\(C_{3}^2\)： \[ \begin{align*} C_{3}^2&=\frac{3!}{2!(3 - 2)!}\\ &=\frac{3\times2\times1}{(2\times1)\times(1)}\\ &=3 \end{align*} \] 所以这种情况下的选择方式有\(C_{4}^1\times C_{3}^1\times C_{3}^2 = 4\times3\times3 = 36\)种。 ### 步骤三：计算总的选择方式数量 根据分类加法计数原理，完成一件事，有\(n\)类办法，在第\(1\)类办法中有\(m_1\)种不同的方法，在第\(2\)类办法中有\(m_2\)种不同的方法……在第\(n\)类办法中有\(m_n\)种不同的方法，那么完成这件事共有\(N = m_1 + m_2 + \cdots + m_n\)种不同的方法。所以总的选择方式有\(54 + 36 + 36 = 126\)种。 ######[AI写代码神器 | 1677点数解答 | 2026-03-29 11:40:11]