开关灯问题揭秘：巧用数学解 1e9 规模难题

这个问题是经典的“开关灯”问题。每个灯作的次数等于其编号的因数个数。 灯最终状态由操作次数的奇偶性决定：奇数次操作灯亮，偶数次操作灯灭。 一个数有奇数个因数当且仅当它是完全平方数。 亮灯的编号就是所有不超过 n 的完全平方数。 它们的和就是： \[ \sum_{k=1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor} k^2 \] 代码实现： ```python n = int(input()) k = int(n 0.5) ans = sum(i * i for i in range(1, k + 1)) print(ans) ``` 我在以往的开发过程中，碰到过以下几点需要格外小心处理的地方： 1. 当 n 很大时（最大 1e9），直接遍历 1 到 n 会超时，必须用数学方法。 2. 计算平方根取整时，注意浮点数精度问题，可以用 int(n 0.5) 或 math.isqrt(n)（Python 3.8+）。 3. 求和时使用公式或循环，注意数据范围，Python 整数不会溢出，但其他语言可能需要使用 long long 类型。 ######[AI写代码神器 | 271点数解答 | 2026-01-18 12:41:43]