假设每个原材料存在不规则缺陷，缺陷的大小和位置是已知的，缺陷会影响切割的部分材料，即加工的成品不能包含缺陷区域（每一个缺陷区域可视为矩形区域），每类原材料的缺陷信息包含缺陷起始位置和缺陷的长度，如表2所示。 表2： 具体缺陷信息 原材料编号 原材料长度（米） 缺陷位置（从左端起）（米处） 缺陷长度（米） 1 5.5 1.0 0.03 1 5.5 2.5 0.04 2 6.2 0.5 0.02 2 6.2 1.8 0.05 3 7.8 3.0 0.03 根据这些缺陷，请在问题1的基础上，重新建立数学模型，制定最优切割方案，并计算调整后切割方案整体的切割损失率及利用率。

问题分析 要制定最优切割方案，需要考虑原材料的长度、缺陷位置和长度，同时满足加工成品不能包含缺陷区域的要求。目标是使切割损失率最小，利用率最大。 数学模型建立 符号定义 - $i$：原材料编号，$i = 1,2,3$ - $L_i$：第 $i$ 种原材料的长度 - $n_i$：第 $i$ 种原材料的数量（这里假设每种原材料数量为 1） - $p_{ij}$：第 $i$ 种原材料的第 $j$ 个缺陷的起始位置 - $l_{ij}$：第 $i$ 种原材料的第 $j$ 个缺陷的长度 - $m$：成品的种类数 - $d_k$：第 $k$ 种成品的需求数量 - $s_k$：第 $k$ 种成品的长度 - $x_{ik}$：第 $i$ 种原材料切割出第 $k$ 种成品的数量 - $y_{ij}$：第 $i$ 种原材料在第 $j$ 个缺陷处的切割状态（0 表示不切割，1 表示切割） - $z_{i}$：第 $i$ 种原材料的剩余长度 目标函数 最小化切割损失率，即最大化利用率。 \[ \min \sum_{i = 1}^{3} z_{i} \] 约束条件 1. 成品需求约束 对于每种成品 $k$，切割出的数量要满足需求。 \[ \sum_{i = 1}^{3} x_{ik} \geq d_k, \quad k = 1,2,\cdots,m \] 2. 原材料长度约束 切割出的成品长度和缺陷占用长度总和不能超过原材料长度。 \[ \sum_{k = 1}^{m} x_{ik} s_k + \sum_{j} y_{ij} l_{ij} \leq L_i, \quad i = 1,2,3 \] 3. 缺陷避让约束 切割的成品不能包含缺陷区域。可以通过逻辑约束来实现，例如确保切割点不在缺陷范围内。 4. 剩余长度计算 \[ z_{i} = L_i - \sum_{k = 1}^{m} x_{ik} s_k - \sum_{j} y_{ij} l_{ij}, \quad i = 1,2,3 \] 5. 变量非负约束 \[ x_{ik} \geq 0, \quad y_{ij} \in \{0,1\}, \quad z_{i} \geq 0 \] Python 代码实现 ```python import pulp # 原材料信息 raw_materials = { 1: {'length': 5.5, 'defects': [(1.0, 0.03), (2.5, 0.04)]}, 2: {'length': 6.2, 'defects': [(0.5, 0.02), (1.8, 0.05)]}, 3: {'length': 7.8, 'defects': [(3.0, 0.03)]} } # 假设成品需求和长度 product_demands = { 1: {'demand': 1, 'length': 2.0}, 2: {'demand': 1, 'length': 3.0} } # 创建线性规划问题 prob = pulp.LpProblem("Optimal_Cutting_Plan", pulp.LpMinimize) # 定义变量 x = pulp.LpVariable.dicts("x", [(i, k) for i in raw_materials.keys() for k in product_demands.keys()], lowBound=0, cat='Integer') y = pulp.LpVariable.dicts("y", [(i, j) for i in raw_materials.keys() for j in range(len(raw_materials[i]['defects']))], cat='Binary') z = pulp.LpVariable.dicts("z", raw_materials.keys(), lowBound=0) # 目标函数 prob += pulp.lpSum(z[i] for i in raw_materials.keys()) # 成品需求约束 for k in product_demands.keys(): prob += pulp.lpSum(x[(i, k)] for i in raw_materials.keys()) >= product_demands[k]['demand'] # 原材料长度约束 for i in raw_materials.keys(): prob += pulp.lpSum(x[(i, k)] * product_demands[k]['length'] for k in product_demands.keys()) + \ pulp.lpSum(y[(i, j)] * raw_materials[i]['defects'][j][1] for j in range(len(raw_materials[i]['defects']))) <= raw_materials[i]['length'] # 剩余长度计算 for i in raw_materials.keys(): prob += z[i] == raw_materials[i]['length'] - pulp.lpSum(x[(i, k)] * product_demands[k]['length'] for k in product_demands.keys()) - \ pulp.lpSum(y[(i, j)] * raw_materials[i]['defects'][j][1] for j in range(len(raw_materials[i]['defects']))) # 求解问题 prob.solve() # 输出结果 print("Status:", pulp.LpStatus[prob.status]) total_loss = 0 total_length = 0 for i in raw_materials.keys(): print(f"原材料 {i} 的剩余长度: {pulp.value(z[i])} 米") total_loss += pulp.value(z[i]) total_length += raw_materials[i]['length'] for k in product_demands.keys(): print(f"原材料 {i} 切割出成品 {k} 的数量: {pulp.value(x[(i, k)])}") # 计算切割损失率和利用率 loss_rate = total_loss / total_length utilization_rate = 1 - loss_rate print(f"切割损失率: {loss_rate * 100:.2f}%") print(f"利用率: {utilization_rate * 100:.2f}%") ``` 代码解释 1. 数据定义：定义了原材料信息、成品需求和长度。 2. 线性规划问题创建：使用 `pulp` 库创建线性规划问题。 3. 变量定义：定义了切割数量变量 `x`、缺陷切割状态变量 `y` 和剩余长度变量 `z`。 4. 目标函数和约束条件：根据数学模型添加目标函数和约束条件。 5. 求解问题：调用 `prob.solve()` 求解线性规划问题。 6. 结果输出：输出每种原材料的剩余长度、切割出的成品数量，以及切割损失率和利用率。 注意事项 - 代码中的成品需求和长度是假设值，实际使用时需要根据具体情况修改。 - 缺陷避让约束在代码中简化处理，实际应用中可能需要更复杂的逻辑来确保切割的成品不包含缺陷区域。 [2025-06-05 13:18:17 | AI问答 | 1624点数解答]