问题 2 假设每个原材料存在不规则缺陷，缺陷的大小和位置是已知的，缺 陷会影响切割的部分材料，即加工的成品不能包含缺陷区域（每一个缺陷区域 可视为矩形区域），每类原材料的缺陷信息包含缺陷起始位置和缺陷的长度， 如表 2 所示。 表 2：具体缺陷信息 原材料编号 原材料长度 （米） 缺陷位置（从左端起）（米处） 缺陷长度（米） 1 5.5 1.0 0.03 1 5.5 2.5 0.04 2 6.2 0.5 0.02 2 6.2 1.8 0.05 3 7.8 3.0 0.03 根据这些缺陷，请在问题 1 的基础上，重新建立数学模型，制定最优切割 方案，并计算调整后切割方案整体的切割损失率及利用率。

问题重述 我们有以下信息： 1. 原材料信息： - 原材料编号、长度及缺陷信息如下： | 原材料编号 | 原材料长度（米） | 缺陷位置（从左端起）（米处） | 缺陷长度（米） | |-------------|------------------|-------------------------------|----------------| | 1 | 5.5 | 1.0 | 0.03 | | 1 | 5.5 | 2.5 | 0.04 | | 2 | 6.2 | 0.5 | 0.02 | | 2 | 6.2 | 1.8 | 0.05 | | 3 | 7.8 | 3.0 | 0.03 | 2. 问题要求： - 在问题1的基础上（假设问题1是无缺陷的切割方案），考虑缺陷后重新建立数学模型。 - 制定最优切割方案。 - 计算调整后切割方案的整体切割损失率及利用率。 解决思路 1. 理解缺陷的影响： - 缺陷区域是矩形区域，加工成品不能包含缺陷区域。 - 缺陷区域可以表示为区间： - 原材料1：缺陷区间 [1.0, 1.03] 和 [2.5, 2.54]。 - 原材料2：缺陷区间 [0.5, 0.52] 和 [1.8, 1.85]。 - 原材料3：缺陷区间 [3.0, 3.03]。 2. 切割方案调整： - 在切割时，任何成品不能跨越缺陷区间。 - 需要将原材料划分为可用区间（即不包含缺陷的连续区域）。 - 在可用区间内进行切割。 3. 数学模型调整： - 在原问题1的模型基础上，增加约束：切割的成品不能与缺陷区间重叠。 - 可用区间的划分： - 原材料1： - [0, 1.0], [1.03, 2.5], [2.54, 5.5]。 - 原材料2： - [0, 0.5], [0.52, 1.8], [1.85, 6.2]。 - 原材料3： - [0, 3.0], [3.03, 7.8]。 4. 切割方案： - 在可用区间内尽可能多地切割成品。 - 切割顺序和组合需要优化以最小化损失。 5. 损失率和利用率： - 损失率 = (原材料总长度 - 成品总长度) / 原材料总长度。 - 利用率 = 成品总长度 / 原材料总长度。 具体步骤 1. 划分可用区间： - 原材料1： - 可用区间：A=[0,1.0], B=[1.03,2.5], C=[2.54,5.5]。 - 区间长度：A=1.0, B=1.47, C=2.96。 - 原材料2： - 可用区间：D=[0,0.5], E=[0.52,1.8], F=[1.85,6.2]。 - 区间长度：D=0.5, E=1.28, F=4.35。 - 原材料3： - 可用区间：G=[0,3.0], H=[3.03,7.8]。 - 区间长度：G=3.0, H=4.77。 2. 成品需求： - 假设问题1中成品需求为：L1=2.0m, L2=3.5m, L3=2.5m（具体需求需明确）。 - 这里假设成品需求为L1=2.0m, L2=3.5m, L3=2.5m。 3. 切割方案： - 优先在长区间切割长成品： - 原材料3的H区间（4.77m）： - 可切割3.5m（剩余1.27m）。 - 原材料2的F区间（4.35m）： - 可切割3.5m（剩余0.85m）。 - 原材料1的C区间（2.96m）： - 可切割2.5m（剩余0.46m）。 - 原材料3的G区间（3.0m）： - 可切割2.0m（剩余1.0m）。 - 原材料2的E区间（1.28m）： - 无法切割任何成品。 - 原材料1的B区间（1.47m）： - 无法切割任何成品。 - 原材料1的A区间（1.0m）： - 无法切割任何成品。 - 原材料2的D区间（0.5m）： - 无法切割任何成品。 - 假设需要切割： - 3.5m：2件（H和F区间）。 - 2.5m：1件（C区间）。 - 2.0m：1件（G区间）。 - 剩余需求：根据问题1的具体需求调整。 4. 损失率和利用率： - 原材料总长度：5.5 + 6.2 + 7.8 = 19.5m。 - 成品总长度：3.5*2 + 2.5 + 2.0 = 11.5m。 - 损失率 = (19.5 - 11.5) / 19.5 ≈ 41.03%。 - 利用率 = 11.5 / 19.5 ≈ 58.97%。 数学模型 1. 变量定义： - 设原材料集合为 \( M \)，成品集合为 \( P \)。 - 对于每个原材料 \( m \in M \)，其可用区间为 \( S_m \)。 - 对于每个可用区间 \( s \in S_m \)，其长度为 \( L_s \)。 - 决策变量：\( x_{p,s} \) 表示成品 \( p \) 是否从区间 \( s \) 切割。 2. 目标： - 最大化成品总长度： \[ \text{max} \sum_{p \in P} \sum_{s \in S_m} L_p \cdot x_{p,s} \] - 或最小化损失： \[ \text{min} \sum_{m \in M} L_m - \sum_{p \in P} \sum_{s \in S_m} L_p \cdot x_{p,s} \] 3. 约束： - 每个成品 \( p \) 只能切割一次： \[ \sum_{s \in S_m} x_{p,s} \leq 1, \quad \forall p \in P \] - 区间 \( s \) 的切割总长度不超过 \( L_s \)： \[ \sum_{p \in P} L_p \cdot x_{p,s} \leq L_s, \quad \forall s \in S_m, m \in M \] - 成品 \( p \) 只能从长度足够的区间切割： \[ x_{p,s} = 0 \quad \text{if} \quad L_p > L_s \] 示例计算 假设成品需求为： - 3.5m：2件 - 2.5m：1件 - 2.0m：1件 切割方案： 1. 原材料3的H区间（4.77m）： - 切割3.5m（剩余1.27m）。 2. 原材料2的F区间（4.35m）： - 切割3.5m（剩余0.85m）。 3. 原材料1的C区间（2.96m）： - 切割2.5m（剩余0.46m）。 4. 原材料3的G区间（3.0m）： - 切割2.0m（剩余1.0m）。 成品总长度：3.5*2 + 2.5 + 2.0 = 11.5m。 原材料总长度：19.5m。 损失率：\( \frac{19.5 - 11.5}{19.5} \approx 41.03\% \)。 利用率：\( \frac{11.5}{19.5} \approx 58.97\% \)。 可能的优化 如果成品需求不同或原材料分配不同，可以进一步优化： - 例如，将2.5m成品从原材料3的H区间切割（剩余2.27m），然后切割2.0m（剩余0.27m）。 - 这样可以减少原材料的浪费。 最终答案 调整后的切割方案： - 原材料3： - 区间H（4.77m）：切割3.5m（剩余1.27m）。 - 区间G（3.0m）：切割2.0m（剩余1.0m）。 - 原材料2： - 区间F（4.35m）：切割3.5m（剩余0.85m）。 - 原材料1： - 区间C（2.96m）：切割2.5m（剩余0.46m）。 成品总长度：11.5m。 原材料总长度：19.5m。 切割损失率：41.03%。 利用率：58.97%。 数学模型 数学模型可以形式化为： \[ \begin{align*} \text{max} \quad & \sum_{p \in P} \sum_{s \in S_m} L_p \cdot x_{p,s} \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{s \in S_m} x_{p,s} \leq 1, \quad \forall p \in P \\ & \sum_{p \in P} L_p \cdot x_{p,s} \leq L_s, \quad \forall s \in S_m, m \in M \\ & x_{p,s} \in \{0,1\} \end{align*} \] 其中： - \( P \) 是成品集合。 - \( S_m \) 是原材料 \( m \) 的可用区间集合。 - \( L_p \) 是成品 \( p \) 的长度。 - \( L_s \) 是区间 \( s \) 的长度。 - \( x_{p,s} \) 是决策变量，表示成品 \( p \) 是否从区间 \( s \) 切割。 [2025-05-10 23:47:30 | AI问答 | 2367点数解答]