10 名员工分 3 部门，选 4 人组队且各部至少 1 人，究竟有多少种选法？

这是一个组合数学问题，可分情况讨论来计算选择方式的数量。 因为要从\(10\)名员工中选\(4\)名组成工作组且每个部门至少有\(1\)人，那么有两种情况：一个部门选\(2\)人，另外两个部门各选\(1\)人。 情况一：A 部门选\(2\)人，B 部门选\(1\)人，C 部门选\(1\)人 从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的组合数记为\(C_{n}^m\)，其计算公式为\(C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}\)。 - A 部门有\(4\)名员工，选\(2\)人的组合数为\(C_{4}^2=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}=\frac{4\times3}{2\times1}=6\)。 - B 部门有\(3\)名员工，选\(1\)人的组合数为\(C_{3}^1=\frac{3!}{1!(3 - 1)!}=\frac{3}{1}=3\)。 - C 部门有\(3\)名员工，选\(1\)人的组合数为\(C_{3}^1=\frac{3!}{1!(3 - 1)!}=\frac{3}{1}=3\)。 根据分步乘法计数原理，完成一件事需要\(n\)个步骤，做第\(1\)步有\(m_1\)种不同的方法，做第\(2\)步有\(m_2\)种不同的方法……做第\(n\)步有\(m_n\)种不同的方法，那么完成这件事共有\(N = m_1\times m_2\times\cdots\times m_n\)种不同的方法。所以这种情况下的选择方式有\(C_{4}^2\times C_{3}^1\times C_{3}^1 = 6\times3\times3 = 54\)种。 情况二：B 部门选\(2\)人，A 部门选\(1\)人，C 部门选\(1\)人 - B 部门有\(3\)名员工，选\(2\)人的组合数为\(C_{3}^2=\frac{3!}{2!(3 - 2)!}=\frac{3}{1}=3\)。 - A 部门有\(4\)名员工，选\(1\)人的组合数为\(C_{4}^1=\frac{4!}{1!(4 - 1)!}=\frac{4}{1}=4\)。 - C 部门有\(3\)名员工，选\(1\)人的组合数为\(C_{3}^1=\frac{3!}{1!(3 - 1)!}=\frac{3}{1}=3\)。 这种情况下的选择方式有\(C_{3}^2\times C_{4}^1\times C_{3}^1 = 3\times4\times3 = 36\)种。 情况三：C 部门选\(2\)人，A 部门选\(1\)人，B 部门选\(1\)人 - C 部门有\(3\)名员工，选\(2\)人的组合数为\(C_{3}^2=\frac{3!}{2!(3 - 2)!}=\frac{3}{1}=3\)。 - A 部门有\(4\)名员工，选\(1\)人的组合数为\(C_{4}^1=\frac{4!}{1!(4 - 1)!}=\frac{4}{1}=4\)。 - B 部门有\(3\)名员工，选\(1\)人的组合数为\(C_{3}^1=\frac{3!}{1!(3 - 1)!}=\frac{3}{1}=3\)。 这种情况下的选择方式有\(C_{3}^2\times C_{4}^1\times C_{3}^1 = 3\times4\times3 = 36\)种。 汇总所有情况 根据分类加法计数原理，完成一件事，有\(n\)类办法，在第\(1\)类办法中有\(m_1\)种不同的方法，在第\(2\)类办法中有\(m_2\)种不同的方法……在第\(n\)类办法中有\(m_n\)种不同的方法，那么完成这件事共有\(N = m_1 + m_2 + \cdots + m_n\)种不同的方法。所以总的选择方式有\(54 + 36 + 36 = 126\)种。 以下是使用 Python 代码实现计算过程： ```python from math import factorial # 定义计算组合数的函数 def combination(n, m): return factorial(n) // (factorial(m) * factorial(n - m)) # 情况一：A 部门选 2 人，B 部门选 1 人，C 部门选 1 人 case1 = combination(4, 2) * combination(3, 1) * combination(3, 1) # 情况二：B 部门选 2 人，A 部门选 1 人，C 部门选 1 人 case2 = combination(3, 2) * combination(4, 1) * combination(3, 1) # 情况三：C 部门选 2 人，A 部门选 1 人，B 部门选 1 人 case3 = combination(3, 2) * combination(4, 1) * combination(3, 1) # 总的选择方式 total = case1 + case2 + case3 print("总的选择方式有", total, "种。") ``` 我在以往的开发过程中，碰到过以下几点需要格外小心处理的地方： 1. 组合数计算时，阶乘可能会导致数值非常大，要注意数据类型的选择，避免溢出。 2. 在使用分步乘法计数原理和分类加法计数原理时，要准确判断是分步还是分类，避免混淆。 3. 对于不同情况的讨论，要做到不重不漏，确保所有可能的情况都被考虑到。 ######[AI写代码神器 | 1496点数解答 | 2025-08-21 09:19:23]