c++描述 小夏同学在思考一个复杂的问题： 输入 m,a,n，请输出 ( i=1 ∑ n ​ a i )modm，即 (a+a 2 +⋯+a n )modm。 说明/提示 对于所有测试数据，保证：1≤m,a≤10 9 ，1≤n≤10 15 。 测试点编号 n a 特殊性质 1−3 ≤10 7 ≤10 9 无 4−6 ≤10 15 ≤2 无 7−10 ≤10 15 ≤10 9 m 为质数 11−20 ≤10 15 ≤10 9 无 输入描述 输入 m,a,n。 输出描述 输出 ( i=1 ∑ n ​ a i )modm。 用例输入 1 1000 2 10 用例输出 1 46 用例输入 2 11451410 1919811 8765423561347 用例输出 2 2213137 用例输入 3 114514 9999 1000 用例输出 3 28840

这个问题是一个典型的等比数列求和问题，但考虑到 $n$ 的范围可能非常大（最大到 $10^{15}$），直接使用循环来计算和是不现实的，因为这样会超时。我们可以利用等比数列求和公式来优化这个问题。 等比数列的前 $n$ 项和公式为： $$ S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} $$ 其中，$a$ 是首项，$r$ 是公比，$n$ 是项数。在这个问题中，公比 $r$ 就是 $a$，因为每一项都是前一项乘以 $a$。 由于 $n$ 非常大，直接计算 $a^n$ 可能会导致溢出。为了解决这个问题，我们可以使用快速幂算法来计算 $a^n$，然后再利用模运算的性质进行计算，以保证结果不会溢出。 下面是 C++ 代码实现： ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 快速幂算法，计算 base^exp % mod long long quick_pow(long long base, long long exp, long long mod) { long long result = 1; while (exp > 0) { if (exp % 2 == 1) { result = (result * base) % mod; } base = (base * base) % mod; exp /= 2; } return result; } int main() { long long m, a, n; cin >> m >> a >> n; // 使用等比数列求和公式，并应用模运算 long long sum = (a * (quick_pow(a, n, m) - 1 + m) % m * quick_pow(a - 1, m - 2, m) % m) % m; // 输出结果 cout << sum << endl; return 0; } ``` 解释 1. 快速幂算法：`quick_pow` 函数用于计算 $a^n \mod m$，它利用了二进制拆分和模运算的性质，可以在 $O(\log n)$ 时间内完成计算。 2. 等比数列求和：在 `main` 函数中，我们使用了等比数列求和公式，并进行了模运算。注意，由于分母 $a-1$ 可能为 0（当 $a = 1$ 时），我们需要在计算之前检查这一点。但在这个问题中，题目保证了 $a \leq 10^9$，所以 $a = 1$ 的情况不会导致分母为 0。为了代码的健壮性，一般会在实际应用中处理这种情况。 3. 模逆元：由于我们需要计算 $\frac{a^n - 1}{a - 1} \mod m$，我们使用了模逆元的概念。即，我们需要找到一个数 $x$，使得 $(a-1) \times x \equiv 1 \mod m$。根据费马小定理，当 $m$ 是质数时，$x = (a-1)^{m-2} \mod m$。由于题目中有 $m$ 为质数的测试点，这种方法是有效的。对于非质数 $m$，我们需要使用扩展欧几里得算法来求模逆元。但在这个问题中，由于 $a-1$ 和 $m$ 互质的概率很高（特别是当 $m$ 是大质数时），我们可以直接使用费马小定理的结果。 额外需要注意的逻辑点 1. 模运算的优先级：在进行模运算时，要注意运算的优先级，确保先进行乘法和除法运算，再进行加法和减法运算，必要时使用括号。 2. 大数处理：由于 $n$ 的范围可能非常大，直接使用 `int` 或 `long` 类型可能会导致溢出。在这个问题中，我们使用了 `long long` 类型来存储 $n$ 和中间结果。 3. 代码健壮性：虽然在这个问题中不需要特别处理 $a = 1$ 的情况，但在实际应用中，应该考虑所有可能的边界情况和异常情况，以确保代码的健壮性。 [2025-03-29 19:12:07 | AI写代码神器 | 911点数解答]