用python有一个牧场，牧场上的牧草每天都在匀速生长， 这片牧场可供15头牛吃20天； 或可供20头牛吃10天； 那么，这片牧场每天新生的草量可供几头牛吃1天？

问题重述 有一个牧场，其上的牧草每天都在以固定的速度生长。已知： - 如果放养15头牛，这些牛可以在20天内吃完所有的草（包括新长的草）； - 如果放养20头牛，这些牛可以在10天内吃完所有的草（同样包括新长的草）。 问：这片牧场每天新生的草量可以供几头牛吃一天？ 解题思路 这是一个典型的“牛吃草”问题，涉及初始存量、增长速率和消耗速率之间的关系。我们可以通过建立数学模型来解决它。以下是具体步骤： 定义变量 设： - G₀: 初始时刻牧场中的总草量（单位：份） - r: 每天新生的草量（单位：份/天） - c: 每头牛每天吃掉的草量（假设所有牛吃草速度相同，且标准化为1份/天） 注意：为了简化计算，我们可以认为每头牛每天吃1份草（即 c=1），这样其他量的单位也会相应调整。但为了严谨性，我们先保留符号，最后再赋值或消去。 根据题意列出方程 第一种情况：15头牛吃20天 在这期间，总共被吃掉的草包括两部分：原有的草和新长出来的草。由于草每天都在生长，所以在20天内累计新增了 `r × 20` 的草。15头牛每天共吃掉 `15 × c` 的草，因此在20天内总共吃掉了 `15 × c × 20` 的草。这两者之和应该等于最初的草量加上这段时间内新增的所有草量吗？不对！实际上，正确的理解是：在任何时候都有足够的草供当前的牛羊食用，直到某一天突然不够为止。更准确的说法是：在整个过程中，每天的实际可用草量是前一天剩下的加上当天新长的草减去当天被吃掉的部分。不过更简单的方法是考虑总量平衡。 更合理的思路是：整个系统的净变化为零时达到稳态前的累积效果。这里采用另一种常见方法——将整个过程视为一个动态过程，其中每天的变化如下： 令第n天的剩余草量为Sₙ，则有递推关系： S_{n+1} = S_n + r - k*c 其中k是当前牛的数量。但对于有限的时间范围来说，可以直接用总供需相等的原则来处理。 更有效的方法是使用两个条件构造二元一次方程组。 对于第一个条件（15头牛吃20天）： 总消耗 = 初始草量 + 20天内新增的草 即：15 * c * 20 = G₀ + r * 20 ...(1) 对于第二个条件（20头牛吃10天）： 总消耗 = 初始草量 + 10天内新增的草 即：20 * c * 10 = G₀ + r * 10 ...(2) 解方程组 从方程(1): 300c = G₀ + 20r 从方程(2): 200c = G₀ + 10r 两式相减得：(300c - 200c) = (G₀ + 20r) - (G₀ + 10r) → 100c = 10r → r = 10c 这意味着每天新生的草量相当于10头牛一天吃的量。 验证结果 既然 r = 10c，代入任一原方程求G₀： 如代入方程(2): 200c = G₀ + 10*10c → 200c = G₀ + 100c → G₀ = 100c 即最初有足够100头牛吃一天的草量。 检查第一个条件是否成立： 15头牛吃20天的总需求：15×c×20=300c 供给侧：初始100c + 20天新增10c×20=200c → 总计300c，匹配。 第二个条件也成立： 20头牛吃10天的总需求：20×c×10=200c 供给侧：初始100c + 10天新增10c×10=100c → 总计200c，匹配。 答案正确。 Python代码实现 下面是一个用Python解决这个问题的程序，它会输出每天新生的草量可供多少头牛吃一天（即r的值除以c，因为我们设定c=1）： ```python # 定义已知条件 cows1, days1 = 15, 20 # 第一种情况：15头牛吃20天 cows2, days2 = 20, 10 # 第二种情况：20头牛吃10天 # 假设每头牛每天吃1份草（c=1），则建立方程组： # cows1 * days1 = initial_grass + r * days1 # cows2 * days2 = initial_grass + r * days2 # 转换为矩阵形式并求解 import numpy as np A = [[1, days1], [1, days2]] # 系数矩阵 [[1,20],[1,10]] B = [cows1 * days1, cows2 * days2] # 常数项 [300,200] # 解线性方程组 AX=B => X=[initial_grass; r] solution = np.linalg.solve(A, B) initial_grass, daily_growth = solution # 因为每头牛每天吃1份草，所以daily_growth就是答案（可直接供养的牛数） print(f"每天新生的草量可供 {daily_growth:.0f} 头牛吃一天") ``` 运行上述代码会输出： ``` 每天新生的草量可供 10 头牛吃一天 ``` 最终答案 这片牧场每天新生的草量可供 10头牛吃一天。 [2025-12-23 12:15:57 | AI问答 | 1399点数解答]