已知 输出 的值。 输入 第一行一个整数 . 输出 输出 函数值。答案保留5位小数 样例输入 复制 4 样例输出 复制 0.23288

我们要求的是 \[ S = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k(k+1)} \] --- 1. 先化简通项 \[ \frac{(-1)^{k+1}}{k(k+1)} \] 用部分分式分解： \[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \] 所以 \[ a_k = (-1)^{k+1} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \] --- 2. 展开求和 \[ S = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \frac{1}{k+1} \] 第二个和式令 \( j = k+1 \)，则 \( j \) 从 \( 2 \) 到 \( n+1 \)： \[ \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \frac{1}{k+1} = \sum_{j=2}^{n+1} (-1)^{j} \frac{1}{j} \] 注意 \( (-1)^{k+1} = (-1)^{j} \) 因为 \( j = k+1 \) 时 \( k+1 \) 与 \( j \) 同奇偶。 --- 3. 代回 \[ S = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} - \sum_{j=2}^{n+1} (-1)^{j} \frac{1}{j} \] 第一个和式：\(\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \dots + (-1)^{n+1} \frac{1}{n}\) 第二个和式：\(\sum_{j=2}^{n+1} (-1)^{j} \frac{1}{j} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + (-1)^{n+1} \frac{1}{n+1}\) 注意第二个和式里 \( (-1)^j = (-1)^{k+1} \) 当 \( j = k+1 \)，所以第二个和式可以写成： \[ -\frac12 + \frac13 - \frac14 + \dots + (-1)^{n+1} \frac{1}{n+1} \] --- 4. 相减 第一个和式减去第二个和式时，从 \( k=2 \) 到 \( k=n \) 的项 \(\frac{(-1)^{k+1}}{k}\) 会与第二个和式中的 \( -\frac{(-1)^{k+1}}{k} \) 抵消吗？我们仔细对齐： 第一个和式：\( 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \dots + (-1)^{n+1} \frac{1}{n} \) 第二个和式：\( -\frac12 + \frac13 - \frac14 + \dots + (-1)^{n+1} \frac{1}{n+1} \) 相减： \[ S = \left[1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \dots + (-1)^{n+1} \frac{1}{n}\right] - \left[-\frac12 + \frac13 - \frac14 + \dots + (-1)^{n+1} \frac{1}{n+1}\right] \] 逐项看： - 常数项 \(1\) 保留。 - \(-\frac12\) 减去 \(-\frac12\) 得 \(0\)。 - \(\frac13\) 减去 \(\frac13\) 得 \(0\)。 - 一直到 \(k=n\) 项：第一个和式有 \((-1)^{n+1} \frac{1}{n}\)，第二个和式对应项是 \((-1)^{n} \frac{1}{n}\)？不对，第二个和式在 \(j=n\) 时对应第一个和式的 \(k=n-1\) 项，我们得小心。 更保险的方法：直接写出差值： 第一个和式 \(A = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k}\) 第二个和式 \(B = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k+1}\)（注意这是原来的第二个和式，变量是 \(k\)） 那么 \(S = A - B\)。 \[ A = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k} \] \[ B = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k+1} \] 把 \(B\) 写成： \[ B = \sum_{m=2}^{n+1} \frac{(-1)^{m}}{m} \quad\text{(令 \(m=k+1\))} \] 即 \[ B = -\frac12 + \frac13 - \frac14 + \dots + (-1)^{n+1} \frac{1}{n+1} \] 于是 \[ S = \left[1 - \frac12 + \frac13 - \dots + (-1)^{n+1} \frac{1}{n}\right] - \left[-\frac12 + \frac13 - \dots + (-1)^{n+1} \frac{1}{n+1}\right] \] 从 \(k=2\) 到 \(n\)，第一个和式中的 \((-1)^{k+1} \frac{1}{k}\) 与第二个和式中的 \((-1)^{k} \frac{1}{k}\) 相减： 注意第二个和式中 \(k\) 从 1 到 \(n\) 时项是 \(\frac{(-1)^{k+1}}{k+1}\)，所以当 \(k\) 从 1 到 \(n-1\) 时，第二个和式中的 \(\frac{(-1)^{k+1}}{k+1}\) 等于第一个和式中 \(k'=k+1\) 的项 \(\frac{(-1)^{k+2}}{k+1}\)，符号相反。我们直接硬算 \(n=4\) 验证公式。 --- 5. 直接算 \(n=4\) \[ S = \sum_{k=1}^4 \frac{(-1)^{k+1}}{k(k+1)} \] \[ = \frac{1}{1\cdot 2} - \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} - \frac{1}{4\cdot 5} \] \[ = \frac12 - \frac16 + \frac{1}{12} - \frac{1}{20} \] \[ = 0.5 - 0.166666... + 0.083333... - 0.05 \] \[ = 0.5 - 0.166666... = 0.333333... \] \[ 0.333333... + 0.083333... = 0.416666... \] \[ 0.416666... - 0.05 = 0.366666... \] 保留五位小数是 \(0.36667\)，但样例输出是 \(0.23288\)，说明我理解错题目了。 --- 6. 检查题目 题目里给的是： \[ S = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k(k+1)} \] 样例输入 \(n=4\)，输出 \(0.23288\)。 我算的 \(0.36667\) 不对，说明可能我通项分解错了？或者题目其实是： \[ S = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k}}{k(k+1)} \] 但这样第一项是负的，也不对。 我们按 \(n=4\) 用 \((-1)^{k+1}/(k(k+1))\) 直接数值验证： \[ k=1: 1/2 = 0.5 \] \[ k=2: -1/6 \approx -0.1666667 \] \[ k=3: 1/12 \approx 0.0833333 \] \[ k=4: -1/20 = -0.05 \] 和：\(0.5 - 0.1666667 = 0.3333333\)，加 \(0.0833333 = 0.4166666\)，减 \(0.05 = 0.3666666\)，确实 \(0.36667\)。 但样例是 \(0.23288\)，差很多，所以可能公式是： \[ S = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k(k+1)} \times \text{某个系数？} \] 或者其实是： \[ S = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k(k+1)} \quad\text{但 } n \text{ 从 } 0 \text{ 开始？} \] 但 \(n=4\) 时，若公式是 \(\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{(k+1)(k+2)}\)，则： \[ k=0: 1/2=0.5 \] \[ k=1: -1/6\approx -0.166667 \] \[ k=2: 1/12\approx 0.083333 \] \[ k=3: -1/20=-0.05 \] \[ k=4: 1/30\approx 0.033333 \] 和：\(0.5-0.166667=0.333333\)，加 \(0.083333=0.416666\)，减 \(0.05=0.366666\)，加 \(0.033333=0.4\)，也不是 \(0.23288\)。 --- 7. 可能题目是交错调和数相关公式 已知公式： \[ \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k} = H_n - 2 \sum_{k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{1}{2k} = H_n - H_{\lfloor n/2 \rfloor} \] 但这里分母是 \(k(k+1)\)，我们分解： \[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \] 所以 \[ S = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k} - \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k+1} \] 第二个和式下标换为 \(j=k+1\)： \[ = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k} - \sum_{j=2}^{n+1} \frac{(-1)^{j}}{j} \] 注意 \((-1)^{k+1} = -(-1)^{k+2}\) 等，我们合并： 第一个和式：\(1 - 1/2 + 1/3 - \dots + (-1)^{n+1}/n\) 第二个和式：\(-1/2 + 1/3 - 1/4 + \dots + (-1)^{n+2}/(n+1)\) 相减： \[ S = 1 + \left[ (-1/2) - (-1/2) \right] + \left[ (1/3) - (1/3) \right] + \dots + \left[ (-1)^{n+1}/n - (-1)^{n+2}/n \right] - (-1)^{n+2}/(n+1) \] 中间项两两抵消？检查 \(n=4\)： 第一个和式：\(1 - 1/2 + 1/3 - 1/4\) 第二个和式：\(-1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5\) 相减：\(1 - (-1/2) = 1 + 1/2\)？不对，应该是 \(1 - (-1/2) = 1.5\)，但这是第一项减第二项的第一项？我们逐项减： 第一个和式第1项 \(1\) 减第二个和式第1项 \(-1/2\)：\(1 - (-1/2) = 1.5\) 第一个和式第2项 \(-1/2\) 减第二个和式第2项 \(1/3\)：\(-1/2 - 1/3 = -5/6 \approx -0.833333\) 第一个和式第3项 \(1/3\) 减第二个和式第3项 \(-1/4\)：\(1/3 - (-1/4) = 1/3+1/4=7/12\approx 0.583333\) 第一个和式第4项 \(-1/4\) 减第二个和式第4项 \(1/5\)：\(-1/4 - 1/5 = -9/20 = -0.45\) 和：\(1.5 - 0.833333 = 0.666667\)，加 \(0.583333 = 1.25\)，减 \(0.45 = 0.8\)，不是 \(0.23288\)。 --- 8. 可能题目是 \[ S = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k(k+1)} \quad\text{但 } n=4 \text{ 时我算错？} \] 再算一遍： \[ 1/(1*2)=0.5 \] \[ -1/(2*3)=-1/6=-0.1666667 \] \[ 1/(3*4)=1/12=0.0833333 \] \[ -1/(4*5)=-0.05 \] 加总：\(0.5-0.1666667=0.3333333\)，加 \(0.0833333=0.4166666\)，减 \(0.05=0.3666666\)，即 \(0.36667\)。 但样例输出是 \(0.23288\)，说明可能公式是： \[ S = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k}}{k(k+1)} \] 那么 \(n=4\)： \[ -1/2 = -0.5 \] \[ 1/6 = 0.1666667 \] \[ -1/12 = -0.0833333 \] \[ 1/20 = 0.05 \] 和：\(-0.5+0.1666667=-0.3333333\)，减 \(0.0833333=-0.4166666\)，加 \(0.05=-0.3666666\)，也不是 \(0.23288\)。 --- 9. 可能题目是 \[ S = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k(k+1)} \times \frac{1}{2} \text{ 之类？} \] \(0.36667/2=0.18333\)，接近但不对。 --- 10. 尝试用已知数值反推 样例输出 \(0.23288\)，若 \(n=4\) 时 \(S=0.23288\)，则通项可能为： \[ \frac{(-1)^{k+1}}{k(k+1)} \times \frac{1}{k+2}? \] 试 \(k=1: 1/(1*2*3)=1/6\approx 0.166667\) \(k=2: -1/(2*3*4)=-1/24\approx -0.0416667\) \(k=3: 1/(3*4*5)=1/60\approx 0.0166667\) \(k=4: -1/(4*5*6)=-1/120\approx -0.0083333\) 和：\(0.166667-0.0416667=0.125\)，加 \(0.0166667=0.1416667\)，减 \(0.0083333=0.1333334\)，也不是 \(0.23288\)。 --- 11. 可能公式是 \[ S = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k(k+1)} \quad\text{但保留五位小数时四舍五入？} \] \(0.3666666\) 保留五位小数是 \(0.36667\)，不是 \(0.23288\)。 所以题目可能不是这个公式，而是： \[ S = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k(k+1)} \quad\text{但 } n \text{ 是别的值？} \] 样例输入是 4，输出 0.23288，我们试 \(n=3\)： \[ 1/2 - 1/6 + 1/12 = 0.5 - 0.166667 + 0.083333 = 0.416667 \] 也不是。 试 \(n=5\)： 加一项 \(1/(5*6)=1/30\approx 0.033333\)，所以 \(0.366667+0.033333=0.4\)，也不是。 --- 12. 可能公式是 \[ S = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k(k+1)} \times \frac{1}{2^{k}}? \] 试 \(n=4\)： \(k=1: 0.5/2=0.25\) \(k=2: (-1/6)/4=-1/24\approx -0.0416667\) \(k=3: (1/12)/8=1/96\approx 0.0104167 [2026-01-04 12:18:58 | AI问答 | 4096点数解答]