详细解析：从方程\(3(a^2 - 2ab + 4b^2)=5a^2 + 2b^2\)求解\(a\)与\(b\)的关系

本题可先对等式左边进行去括号运算，再通过移项、合并同类项来求解\(a\)与\(b\)的关系。 步骤一：去括号 根据乘法分配律\(c(a + b)=ca+cb\)，对\(3(a^2 - 2ab + 4b^2)\)去括号： \(3(a^2 - 2ab + 4b^2)=3\times a^2-3\times2ab + 3\times4b^2=3a^2 - 6ab + 12b^2\) 此时原方程变为\(3a^2 - 6ab + 12b^2 = 5a^2 + 2b^2\)。 步骤二：移项 将含有\(a\)、\(b\)的项移到等式的一边，常数项移到等式的另一边，把\(3a^2 - 6ab + 12b^2 = 5a^2 + 2b^2\)移项可得： \(3a^2 - 5a^2 - 6ab + 12b^2 - 2b^2 = 0\) 步骤三：合并同类项 同类项是指所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的几个单项式。合并同类项就是利用乘法分配律，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 对\(3a^2 - 5a^2 - 6ab + 12b^2 - 2b^2 = 0\)合并同类项： \((3 - 5)a^2 - 6ab + (12 - 2)b^2 = 0\) 即\(-2a^2 - 6ab + 10b^2 = 0\)。 等式两边同时除以\(-2\)进行化简可得：\(a^2 + 3ab - 5b^2 = 0\)。 步骤四：求解\(a\) 把\(a^2 + 3ab - 5b^2 = 0\)看作关于\(a\)的一元二次方程，其中\(A = 1\)，\(B = 3b\)，\(C = -5b^2\)。 根据一元二次方程\(Ax^2 + Bx + C = 0\)（\(A\neq0\)）的求根公式\(x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}\)，可得： \(a=\frac{-3b\pm\sqrt{(3b)^2 - 4\times1\times(-5b^2)}}{2\times1}=\frac{-3b\pm\sqrt{9b^2 + 20b^2}}{2}=\frac{-3b\pm\sqrt{29b^2}}{2}=\frac{-3b\pm\sqrt{29}|b|}{2}\)。 当\(b\geq0\)时，\(a=\frac{-3b\pm\sqrt{29}b}{2}\)，即\(a_1=\frac{-3 + \sqrt{29}}{2}b\)，\(a_2=\frac{-3 - \sqrt{29}}{2}b\)； 当\(b\lt0\)时，同样\(a=\frac{-3b\pm(-\sqrt{29}b)}{2}\)，即\(a_1=\frac{-3 + \sqrt{29}}{2}b\)，\(a_2=\frac{-3 - \sqrt{29}}{2}b\)。 综上，\(a=\frac{-3\pm\sqrt{29}}{2}b\)。 ######[AI问答 | 888点数解答 | 2025-10-25 19:35:24]