D题 窗边框生产中的最优切割问题 在窗边框（窗外边框）的生产过程中，窗框的尺寸和形状对建筑物的外观和功能有重要影响。在加工过程中，原材料（如铝合金、钢材等）往往是长条形的，通常需要根据不同订单的需求进行切割，确保每个窗框的尺寸符合要求。窗框的切割方案需要考虑用户的目标尺寸及其目标范围，同时还需要计算锯口宽度对切割损失的影响。 此外，在生产过程中，原材料可能存在不规则缺陷，缺陷的具**置和大小是随机的，这要求生产过程中能及时调整切割方案，避开缺陷区域，确保窗框的质量，并最大化利用原材料。每次切割时需要考虑锯口宽度的影响，即切割机的切割占用宽度。 请建立数学模型，解决以下问题： 问题1 假设每个订单包含多个窗框的需求，并且每个窗框有其目标宽度、目标高度以及目标范围（即目标尺寸的允许误差范围）。每次切割时，需要考虑锯口宽度对实际切割尺寸的影响。要求在剩余原材料的长度内，尽量满足订单的目标尺寸，并尽可能减少切割损失。表1是具体的订单需求： 表1： 订单的具体切割需求 订单号 订单需求对象 订单量（套） 宽度目标（米） 高度目标（米） 窗框单价（元/套） 1 学校教学楼 10 1.6 2.2 4

问题 1 数学模型的详细解释与完善 1. 变量和参数定义 - 原材料相关： - 原材料长度：\(L\)（单位：米），这是可用于切割的总材料长度。 - 锯口宽度：\(w\)（单位：米），每次切割时锯子占用的材料宽度。 - 订单需求相关： - 窗框数量：\(n\)，表示订单中需要的窗框套数。 - 目标宽度：\(W_{\text{target}}\)（单位：米），每个窗框期望的宽度。 - 目标高度：\(H_{\text{target}}\)（单位：米），每个窗框期望的高度。 - 允许误差范围：\(\delta_W\)（宽度误差）、\(\delta_H\)（高度误差），实际切割尺寸允许偏离目标尺寸的范围。 - 窗框单价：\(p\)（元/套），每套窗框的价格。 - 决策变量： - \(x_i\)：二进制变量，\(x_i = 1\) 表示切割第 \(i\) 个窗框，\(x_i = 0\) 表示不切割。 - \(W_{\text{actual},i}\)：第 \(i\) 个窗框实际切割的宽度。 - \(H_{\text{actual},i}\)：第 \(i\) 个窗框实际切割的高度。 2. 目标函数 目标是最大化满足订单需求，同时最小化切割损失。切割损失包括锯口宽度导致的材料损失和剩余无法使用的原材料长度。 \[ \text{最大化} \quad \sum_{i=1}^{n} p \cdot x_i - \lambda \cdot L_{\text{waste}} \] 其中： - \(p\) 是窗框单价，\(\sum_{i=1}^{n} p \cdot x_i\) 表示切割出的窗框的总价值。 - \(L_{\text{waste}}\) 为总切割损失，可表示为 \(L - \sum_{i=1}^{n} (W_{\text{actual},i}+H_{\text{actual},i}) \cdot x_i - ( \sum_{i=1}^{n} x_i - 1) \cdot w\)（假设每个窗框需要切割四条边，这里简化为只考虑宽度和高度方向的切割，且切割次数为切割的窗框数减 1）。 - \(\lambda\) 为损失权重系数，用于平衡订单满足和材料损失。 3. 约束条件 - 尺寸误差约束： - 实际切割宽度必须在目标宽度的允许误差范围内： \[ W_{\text{target}} - \delta_W \leq W_{\text{actual},i} \leq W_{\text{target}} + \delta_W \quad \forall i = 1,2,\cdots,n \] - 实际切割高度必须在目标高度的允许误差范围内： \[ H_{\text{target}} - \delta_H \leq H_{\text{actual},i} \leq H_{\text{target}} + \delta_H \quad \forall i = 1,2,\cdots,n \] - 原材料长度约束： \[ \sum_{i=1}^{n} (W_{\text{actual},i}+H_{\text{actual},i}) \cdot x_i + ( \sum_{i=1}^{n} x_i - 1) \cdot w \leq L \] - 决策变量约束： \[ x_i \in \{0, 1\} \quad \forall i = 1,2,\cdots,n \] 4. 求解方法 这是一个典型的一维切割问题（Cutting Stock Problem），可以通过整数线性规划（ILP）或动态规划求解。 - 整数线性规划：可以使用专业的数学规划软件如 Gurobi、CPLEX 等进行求解。将上述目标函数和约束条件输入到软件中，软件会自动寻找最优解。 - 动态规划：将问题分解为子问题，通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。对于每个子问题，考虑不同的切割方案，计算其目标函数值，选择最优的方案。 5. 示例计算 假设： - 原材料长度 \(L = 20\) 米 - 锯口宽度 \(w = 0.01\) 米 - 允许误差 \(\delta_W = 0.05\) 米，\(\delta_H = 0.05\) 米 - 目标宽度 \(W_{\text{target}} = 1.6\) 米 - 目标高度 \(H_{\text{target}} = 2.2\) 米 - 订单数量 \(n = 10\) - 窗框单价 \(p = 4\) 元/套 - 损失权重系数 \(\lambda = 1\) 每次切割的实际宽度范围为 \(1.55 \leq W_{\text{actual}} \leq 1.65\) 米，选择 \(W_{\text{actual}} = 1.6\) 米；实际高度范围为 \(2.15 \leq H_{\text{actual}} \leq 2.25\) 米，选择 \(H_{\text{actual}} = 2.2\) 米。 每个窗框需要的材料长度为 \(2\times(1.6 + 2.2)+ 3\times0.01=7.63\) 米（四条边，三次切割）。 可切割的窗框数量：\(\lfloor 20 / 7.63 \rfloor = 2\) 个 剩余材料：\(20 - 2\times7.63 = 4.74\) 米 订单需求为 10 个，不能完全满足。此时可以尝试调整实际切割尺寸（在允许误差范围内）以减少切割损失。 问题 2 考虑缺陷区域的扩展 1. 标记缺陷区域 设缺陷区域有 \(m\) 个，第 \(j\) 个缺陷区域的起始位置为 \(s_j\)，结束位置为 \(e_j\)（单位：米），\(j = 1,2,\cdots,m\)。 2. 切割方案调整 - 分段处理：将原材料根据缺陷区域划分为若干个无缺陷的可用段。设可用段有 \(k\) 个，第 \(l\) 个可用段的起始位置为 \(a_l\)，结束位置为 \(b_l\)，\(l = 1,2,\cdots,k\)。 - 动态规划调整：在每个可用段内，重新应用问题 1 的切割方案。优先在无缺陷区域切割目标尺寸的窗框。 3. 新的约束条件 - 切割的窗框不能落在缺陷区域内，即对于每个窗框的切割位置 \(pos_i\)（表示窗框切割起点在原材料上的位置），有 \(pos_i \notin \bigcup_{j=1}^{m} [s_j, e_j]\)。 4. 代码示例（Python + PuLP 库求解整数线性规划） ```python from pulp import LpMaximize, LpProblem, LpVariable # 参数设置 L = 20 # 原材料长度 w = 0.01 # 锯口宽度 n = 10 # 窗框数量 W_target = 1.6 # 目标宽度 H_target = 2.2 # 目标高度 delta_W = 0.05 # 宽度误差 delta_H = 0.05 # 高度误差 p = 4 # 窗框单价 lambda_ = 1 # 损失权重系数 # 创建问题 prob = LpProblem("Window_Frame_Cutting", LpMaximize) # 决策变量 x = [LpVariable(f"x_{i}", cat='Binary') for i in range(n)] W_actual = [LpVariable(f"W_actual_{i}", lowBound=W_target - delta_W, upBound=W_target + delta_W) for i in range(n)] H_actual = [LpVariable(f"H_actual_{i}", lowBound=H_target - delta_H, upBound=H_target + delta_H) for i in range(n)] # 目标函数 L_waste = L - sum((W_actual[i]+H_actual[i]) * x[i] for i in range(n)) - (sum(x) - 1) * w prob += sum(p * x[i] for i in range(n)) - lambda_ * L_waste # 约束条件 prob += sum((W_actual[i]+H_actual[i]) * x[i] for i in range(n)) + (sum(x) - 1) * w <= L # 求解问题 prob.solve() # 输出结果 print("Status:", prob.status) print("Total profit:", prob.objective.value()) for i in range(n): if x[i].value() == 1: print(f"Cut window frame {i}: W_actual = {W_actual[i].value()}, H_actual = {H_actual[i].value()}") ``` 这个代码使用 PuLP 库求解整数线性规划问题，输出切割方案和总利润。对于考虑缺陷区域的情况，可以在代码中添加相应的约束条件来实现。 [2025-08-06 16:24:12 | AI问答 | 2167点数解答]