D题 窗边框生产中的最优切割问题 在窗边框（窗外边框）的生产过程中，窗框的尺寸和形状对建筑物的外观和功能有重要影响。在加工过程中，原材料（如铝合金、钢材等）往往是长条形的，通常需要根据不同订单的需求进行切割，确保每个窗框的尺寸符合要求。窗框的切割方案需要考虑用户的目标尺寸及其目标范围，同时还需要计算锯口宽度对切割损失的影响。 此外，在生产过程中，原材料可能存在不规则缺陷，缺陷的具**置和大小是随机的，这要求生产过程中能及时调整切割方案，避开缺陷区域，确保窗框的质量，并最大化利用原材料。每次切割时需要考虑锯口宽度的影响，即切割机的切割占用宽度。 请建立数学模型，解决以下问题： 问题1 假设每个订单包含多个窗框的需求，并且每个窗框有其目标宽度、目标高度以及目标范围（即目标尺寸的允许误差范围）。每次切割时，需要考虑锯口宽度对实际切割尺寸的影响。要求在剩余原材料的长度内，尽量满足订单的目标尺寸，并尽可能减少切割损失。表1是具体的订单需求： 表1： 订单的具体切割需求 订单号 订单需求对象 订单量（套） 宽度目标（米） 高度目标（米） 窗框单价（元/套） 1 学校教学楼 10 1.6 2.2 4

问题1的数学模型建立 1. 定义变量和参数 - 原材料长度：\( L \)（单位：米） - 锯口宽度：\( w \)（单位：米） - 订单需求： - 窗框数量：\( n \)（例如 \( n = 10 \)） - 目标宽度：\( W_{\text{target}} = 1.6 \) 米 - 目标高度：\( H_{\text{target}} = 2.2 \) 米 - 允许误差范围：\( \delta_W \)（宽度误差）、\( \delta_H \)（高度误差） - 窗框单价：\( p = 4 \) 元/套 2. 切割方案的目标 - 最大化满足订单需求，同时最小化切割损失。 - 切割损失包括： - 锯口宽度导致的材料损失。 - 剩余无法使用的原材料长度。 3. 约束条件 - 实际切割尺寸必须在目标尺寸的允许误差范围内： \[ W_{\text{target}} - \delta_W \leq W_{\text{actual}} \leq W_{\text{target}} + \delta_W \] \[ H_{\text{target}} - \delta_H \leq H_{\text{actual}} \leq H_{\text{target}} + \delta_H \] - 每次切割的锯口宽度为 \( w \)，因此实际切割长度为： \[ L_{\text{cut}} = W_{\text{actual}} + w \quad \text{或} \quad L_{\text{cut}} = H_{\text{actual}} + w \] - 剩余原材料长度必须满足下一次切割的需求： \[ L_{\text{remaining}} \geq L_{\text{cut}} \] 4. 数学模型 - 目标函数： \[ \text{最大化} \quad \sum_{i=1}^{n} p \cdot x_i - \lambda \cdot L_{\text{waste}} \] 其中： - \( x_i \) 为二进制变量，表示第 \( i \) 个窗框是否被切割（\( x_i = 1 \) 表示切割，\( 0 \) 表示不切割）。 - \( L_{\text{waste}} \) 为总切割损失（包括锯口损失和剩余材料损失）。 - \( \lambda \) 为损失权重系数，用于平衡订单满足和材料损失。 - 约束条件： \[ \sum_{i=1}^{n} (W_{\text{actual},i} + w) \cdot x_i \leq L \] \[ W_{\text{target}} - \delta_W \leq W_{\text{actual},i} \leq W_{\text{target}} + \delta_W \quad \forall i \] \[ x_i \in \{0, 1\} \quad \forall i \] 5. 求解方法 - 这是一个典型的一维切割问题（Cutting Stock Problem），可以通过整数线性规划（ILP）或动态规划求解。 - 如果允许误差范围较大，可以优先选择接近目标尺寸的切割方案以减少损失。 - 对于锯口宽度 \( w \)，需要在每次切割时从原材料中扣除 \( w \) 的长度。 6. 示例计算 假设： - 原材料长度 \( L = 20 \) 米 - 锯口宽度 \( w = 0.01 \) 米 - 允许误差 \( \delta_W = 0.05 \) 米 - 目标宽度 \( W_{\text{target}} = 1.6 \) 米 每次切割的实际宽度范围为： \[ 1.55 \leq W_{\text{actual}} \leq 1.65 \] 选择 \( W_{\text{actual}} = 1.6 \) 米，则每次切割占用长度： \[ L_{\text{cut}} = 1.6 + 0.01 = 1.61 \text{ 米} \] 可切割的窗框数量： \[ \lfloor 20 / 1.61 \rfloor = 12 \text{ 个} \] 剩余材料： \[ 20 - 12 \times 1.61 = 20 - 19.32 = 0.68 \text{ 米} \] 订单需求为 10 个，因此可以完全满足，剩余材料为 0.68 米。 7. 优化方向 - 如果原材料长度不足，可以尝试调整实际切割尺寸（在允许误差范围内）以减少切割损失。 - 多订单时，可以合并切割需求以进一步优化材料利用率。 问题2的扩展（缺陷区域） 如果原材料存在缺陷区域，需要： 1. 标记缺陷区域的起始和结束位置。 2. 在切割时避开缺陷区域，将可用部分分段处理。 3. 动态调整切割方案，优先在无缺陷区域切割目标尺寸。 [2025-08-02 10:42:10 | AI问答 | 1093点数解答]