窗边框生产中的最优切割问题 问题1 假设每个订单包含多个窗框的需求，并且每个窗框有其目标宽度、目标高度以及目标范围（即目标尺寸的允许误差范围）。每次切割时，需要考虑锯口宽度对实际切割尺寸的影响。要求在剩余原材料的长度内，尽量满足订单的目标尺寸，并尽可能减少切割损失。表1是具体的订单需求： 表1： 订单的具体切割需求 订单号 订单需求对象 订单量（套） 宽度目标（米） 高度目标（米） 窗框单价（元/套） 1 学校教学楼 10 1.6 2.2 480 2 酒店客房 20 1.8 2.4 680 3 医院病房 20 1.7 2.3 550 4 **办公楼 15 1.5 2.0 420 宽度和高度可以在给定尺寸的基础上有0.01米的变化范围，制作一个完整的窗框需要两个高和两个宽。已知原材料的长度分别为：5.5米、6.2米、7.8米，单价分别为18元/根、22元/根和28元/根，原材料的数量不限，锯口宽度为0.005米。请根据原材料的长度，在尽可能满足用户需求的情况下，建立数学模型，给出最优切割方案，实现利润最大化（总成本（原材料成本）与总收益（窗框销售收益）的差值），并计算所给方案整体的切割损

数学模型建立 决策变量 设 $x_{ijk}$ 表示第 $i$ 种原材料（$i = 1,2,3$ 分别对应长度为 5.5 米、6.2 米、7.8 米的原材料）用于切割第 $j$ 个订单（$j = 1,2,3,4$ 分别对应学校教学楼、酒店客房、医院病房、办公楼订单）的第 $k$ 种窗框部件（$k = 1$ 表示宽度部件，$k = 2$ 表示高度部件）的数量。 设 $y_{i}$ 表示第 $i$ 种原材料的使用数量。 目标函数 总利润 $Z$ 为总收益减去总成本，即： \[ Z=\sum_{j = 1}^{4}n_{j}p_{j}-\sum_{i = 1}^{3}y_{i}c_{i} \] 其中 $n_{j}$ 是第 $j$ 个订单的订单量，$p_{j}$ 是第 $j$ 个订单的窗框单价，$c_{i}$ 是第 $i$ 种原材料的单价。 约束条件 1. 满足订单需求： 对于每个订单的宽度和高度部件，切割出的数量要满足订单需求： \[ \sum_{i = 1}^{3}x_{ij1}\geq 2n_{j},\quad j = 1,2,3,4 \] \[ \sum_{i = 1}^{3}x_{ij2}\geq 2n_{j},\quad j = 1,2,3,4 \] 2. 原材料长度限制： 考虑锯口宽度和缺陷区域，第 $i$ 种原材料的使用长度不能超过其有效长度。设 $L_{i}$ 是第 $i$ 种原材料的长度，$d_{il}$ 是第 $i$ 种原材料第 $l$ 个缺陷的起始位置，$w_{il}$ 是第 $i$ 种原材料第 $l$ 个缺陷的长度。 \[ \sum_{j = 1}^{4}\sum_{k = 1}^{2}x_{ijk}(s_{jk}+0.005)\leq L_{i}-\sum_{l}w_{il},\quad i = 1,2,3 \] 其中 $s_{jk}$ 是第 $j$ 个订单第 $k$ 种窗框部件的目标尺寸（考虑允许误差范围）。 3. 非负整数约束： \[ x_{ijk}\geq 0 且为整数,\quad i = 1,2,3;j = 1,2,3,4;k = 1,2 \] \[ y_{i}\geq 0 且为整数,\quad i = 1,2,3 \] Python 代码实现 ```python import pulp # 订单信息 orders = [ {"quantity": 10, "width": 1.6, "height": 2.2, "price": 480}, {"quantity": 20, "width": 1.8, "height": 2.4, "price": 680}, {"quantity": 20, "width": 1.7, "height": 2.3, "price": 550}, {"quantity": 15, "width": 1.5, "height": 2.0, "price": 420} ] # 原材料信息 raw_materials = [ {"length": 5.5, "defects": [(1, 0.3), (3, 0.2)], "price": 17}, {"length": 6.2, "defects": [(2, 0.4)], "price": 20.59}, {"length": 7.8, "defects": [(1.5, 0.2), (4, 0.3)], "price": 24.05} ] # 锯口宽度 saw_width = 0.005 # 创建问题 prob = pulp.LpProblem("WindowFrameCutting", pulp.LpMaximize) # 决策变量 x = pulp.LpVariable.dicts("x", [(i, j, k) for i in range(len(raw_materials)) for j in range(len(orders)) for k in [1, 2]], lowBound=0, cat='Integer') y = pulp.LpVariable.dicts("y", range(len(raw_materials)), lowBound=0, cat='Integer') # 目标函数 total_income = sum(orders[j]["quantity"] * orders[j]["price"] for j in range(len(orders))) total_cost = sum(y[i] * raw_materials[i]["price"] for i in range(len(raw_materials))) prob += total_income - total_cost # 满足订单需求约束 for j in range(len(orders)): prob += pulp.lpSum(x[(i, j, 1)] for i in range(len(raw_materials))) >= 2 * orders[j]["quantity"] prob += pulp.lpSum(x[(i, j, 2)] for i in range(len(raw_materials))) >= 2 * orders[j]["quantity"] # 原材料长度限制约束 for i in range(len(raw_materials)): effective_length = raw_materials[i]["length"] - sum(defect[1] for defect in raw_materials[i]["defects"]) prob += pulp.lpSum(x[(i, j, k)] * (orders[j]["width"] if k == 1 else orders[j]["height"] + saw_width) for j in range(len(orders)) for k in [1, 2]) <= effective_length * y[i] # 求解问题 prob.solve() # 输出结果 print("Status:", pulp.LpStatus[prob.status]) print("Optimal Profit:", pulp.value(prob.objective)) # 计算切割损失率和利用率 total_used_length = 0 total_raw_length = 0 for i in range(len(raw_materials)): total_raw_length += y[i].value() * raw_materials[i]["length"] for j in range(len(orders)): for k in [1, 2]: total_used_length += x[(i, j, k)].value() * (orders[j]["width"] if k == 1 else orders[j]["height"]) cutting_loss_rate = (total_raw_length - total_used_length) / total_raw_length utilization_rate = total_used_length / total_raw_length print("Cutting Loss Rate:", cutting_loss_rate) print("Utilization Rate:", utilization_rate) ``` 代码解释 1. 数据初始化：定义订单信息、原材料信息和锯口宽度。 2. 创建问题：使用 `pulp` 库创建一个最大化问题。 3. 决策变量：定义 $x_{ijk}$ 和 $y_{i}$ 为整数变量。 4. 目标函数：计算总收益和总成本，目标是最大化总利润。 5. 约束条件：添加满足订单需求和原材料长度限制的约束。 6. 求解问题：调用 `prob.solve()` 求解问题。 7. 输出结果：输出问题的状态、最优利润、切割损失率和利用率。 注意事项 - 代码中假设原材料的长度和缺陷信息是固定的，实际应用中可能需要根据具体情况进行调整。 - 代码使用了 `pulp` 库，需要提前安装：`pip install pulp`。 [2025-07-18 09:38:16 | AI问答 | 1739点数解答]