D题 窗边框生产中的最优切割问题 在窗边框（窗外边框）的生产过程中，窗框的尺寸和形状对建筑物的外观和功能有重要影响。在加工过程中，原材料（如铝合金、钢材等）往往是长条形的，通常需要根据不同订单的需求进行切割，确保每个窗框的尺寸符合要求。窗框的切割方案需要考虑用户的目标尺寸及其目标范围，同时还需要计算锯口宽度对切割损失的影响。 此外，在生产过程中，原材料可能存在不规则缺陷，缺陷的具**置和大小是随机的，这要求生产过程中能及时调整切割方案，避开缺陷区域，确保窗框的质量，并最大化利用原材料。每次切割时需要考虑锯口宽度的影响，即切割机的切割占用宽度。 请建立数学模型，解决以下问题： 问题1 假设每个订单包含多个窗框的需求，并且每个窗框有其目标宽度、目标高度以及目标范围（即目标尺寸的允许误差范围）。每次切割时，需要考虑锯口宽度对实际切割尺寸的影响。要求在剩余原材料的长度内，尽量满足订单的目标尺寸，并尽可能减少切割损失。表1是具体的订单需求： 表1： 订单的具体切割需求 订单号 订单需求对象 订单量（套） 宽度目标（米） 高度目标（米） 窗框单价（元/套） 1 学校教学楼 10 1.6 2.2 4

数学模型建立 1. 符号定义 - 决策变量： - 设 $x_{i,j}$ 表示使用第 $i$ 种原材料（$i = 1,2,3$ 分别对应长度为 5.5 米、6.2 米、7.8 米的原材料）切割第 $j$ 种窗框（$j = 1,2,3,4$ 分别对应学校教学楼、酒店客房、医院病房、办公楼的窗框）的套数。 - 设 $y_{i}$ 表示使用第 $i$ 种原材料的根数。 - 参数： - $L_i$ 为第 $i$ 种原材料的长度，$L_1 = 5.5$ 米，$L_2 = 6.2$ 米，$L_3 = 7.8$ 米。 - $C_i$ 为第 $i$ 种原材料的单价，$C_1 = 18$ 元/根，$C_2 = 22$ 元/根，$C_3 = 28$ 元/根。 - $W_j$ 为第 $j$ 种窗框的宽度目标，$W_1 = 1.6$ 米，$W_2 = 1.8$ 米，$W_3 = 1.7$ 米，$W_4 = 1.5$ 米。 - $H_j$ 为第 $j$ 种窗框的高度目标，$H_1 = 2.2$ 米，$H_2 = 2.4$ 米，$H_3 = 2.3$ 米，$H_4 = 2.0$ 米。 - $\Delta$ 为锯口宽度，$\Delta = 0.005$ 米。 - $N_j$ 为第 $j$ 种窗框的订单量，$N_1 = 10$，$N_2 = 20$，$N_3 = 20$，$N_4 = 15$。 - $P_j$ 为第 $j$ 种窗框的单价，$P_1 = 480$ 元/套，$P_2 = 680$ 元/套，$P_3 = 550$ 元/套，$P_4 = 420$ 元/套。 2. 目标函数 目标是实现利润最大化，即总收益减去总成本： \[ \max Z=\sum_{j = 1}^{4}P_j\sum_{i = 1}^{3}x_{i,j}-\sum_{i = 1}^{3}C_iy_i \] 3. 约束条件 - 满足订单需求约束： \[ \sum_{i = 1}^{3}x_{i,j}\geq N_j, \quad j = 1,2,3,4 \] - 原材料长度约束： 对于每种原材料 $i$，切割窗框所用的总长度不能超过其长度，考虑锯口宽度的影响。制作一套窗框需要两个宽和两个高，切割次数为 3 次（产生 3 个锯口），则有： \[ \sum_{j = 1}^{4}x_{i,j}(2W_j + 2H_j+3\Delta)\leq y_iL_i, \quad i = 1,2,3 \] - 非负整数约束： \[ x_{i,j}\geq0 \text{ 且为整数}, \quad i = 1,2,3; j = 1,2,3,4 \] \[ y_i\geq0 \text{ 且为整数}, \quad i = 1,2,3 \] 4. 切割损失率和利用率计算 - 总切割损失长度： \[ \text{总切割损失长度}=\sum_{i = 1}^{3}y_iL_i-\sum_{i = 1}^{3}\sum_{j = 1}^{4}x_{i,j}(2W_j + 2H_j) \] - 切割损失率： \[ \text{切割损失率}=\frac{\text{总切割损失长度}}{\sum_{i = 1}^{3}y_iL_i} \] - 利用率： \[ \text{利用率}=1 - \text{切割损失率} \] Python 代码实现 ```python from pulp import LpMaximize, LpProblem, LpVariable # 参数定义 # 原材料长度 L = [5.5, 6.2, 7.8] # 原材料单价 C = [18, 22, 28] # 窗框宽度目标 W = [1.6, 1.8, 1.7, 1.5] # 窗框高度目标 H = [2.2, 2.4, 2.3, 2.0] # 锯口宽度 Delta = 0.005 # 订单量 N = [10, 20, 20, 15] # 窗框单价 P = [480, 680, 550, 420] # 创建问题 prob = LpProblem("WindowFrameCutting", LpMaximize) # 决策变量 x = [[LpVariable(f"x_{i}_{j}", lowBound=0, cat='Integer') for j in range(4)] for i in range(3)] y = [LpVariable(f"y_{i}", lowBound=0, cat='Integer') for i in range(3)] # 目标函数 Z = sum(P[j] * sum(x[i][j] for i in range(3)) for j in range(4)) - sum(C[i] * y[i] for i in range(3)) prob += Z # 满足订单需求约束 for j in range(4): prob += sum(x[i][j] for i in range(3)) >= N[j] # 原材料长度约束 for i in range(3): prob += sum(x[i][j] * (2 * W[j] + 2 * H[j] + 3 * Delta) for j in range(4)) <= y[i] * L[i] # 求解问题 prob.solve() # 输出结果 print("最优利润: ", prob.objective.value()) print("切割方案:") for i in range(3): for j in range(4): print(f"使用长度为 {L[i]} 米的原材料切割第 {j + 1} 种窗框 {x[i][j].value()} 套") print("使用原材料根数:") for i in range(3): print(f"长度为 {L[i]} 米的原材料使用 {y[i].value()} 根") # 计算切割损失率和利用率 total_raw_length = sum(y[i].value() * L[i] for i in range(3)) total_frame_length = sum(x[i][j].value() * (2 * W[j] + 2 * H[j]) for i in range(3) for j in range(4)) total_loss_length = total_raw_length - total_frame_length cutting_loss_rate = total_loss_length / total_raw_length utilization_rate = 1 - cutting_loss_rate print(f"切割损失率: {cutting_loss_rate * 100:.2f}%") print(f"利用率: {utilization_rate * 100:.2f}%") ``` 代码解释 1. 参数定义：定义了所有需要的参数，包括原材料长度、单价，窗框的宽度、高度、订单量、单价，以及锯口宽度。 2. 创建问题：使用 `pulp` 库创建一个最大化问题。 3. 决策变量：定义了 $x_{i,j}$ 和 $y_i$ 作为决策变量。 4. 目标函数：根据目标函数的定义，将其添加到问题中。 5. 约束条件：添加了满足订单需求约束和原材料长度约束。 6. 求解问题：调用 `prob.solve()` 求解问题。 7. 输出结果：输出最优利润、切割方案、使用原材料的根数，以及切割损失率和利用率。 通过上述模型和代码，可以得到最优切割方案，实现利润最大化，并计算出切割损失率和利用率。 [2025-06-19 16:58:31 | AI问答 | 1974点数解答]