D题 窗边框生产中的最优切割问题 在窗边框（窗外边框）的生产过程中，窗框的尺寸和形状对建筑物的外观和功能有重要影响。在加工过程中，原材料（如铝合金、钢材等）往往是长条形的，通常需要根据不同订单的需求进行切割，确保每个窗框的尺寸符合要求。窗框的切割方案需要考虑用户的目标尺寸及其目标范围，同时还需要计算锯口宽度对切割损失的影响。 此外，在生产过程中，原材料可能存在不规则缺陷，缺陷的具**置和大小是随机的，这要求生产过程中能及时调整切割方案，避开缺陷区域，确保窗框的质量，并最大化利用原材料。每次切割时需要考虑锯口宽度的影响，即切割机的切割占用宽度。 请建立数学模型，解决以下问题： 问题1 假设每个订单包含多个窗框的需求，并且每个窗框有其目标宽度、目标高度以及目标范围（即目标尺寸的允许误差范围）。每次切割时，需要考虑锯口宽度对实际切割尺寸的影响。要求在剩余原材料的长度内，尽量满足订单的目标尺寸，并尽可能减少切割损失。表1是具体的订单需求： 表1： 订单的具体切割需求 订单号 订单需求对象 订单量（套） 宽度目标（米） 高度目标（米） 窗框单价（元/套） 1 学校教学楼 10 1.6 2.2 4

问题分析 要解决窗边框生产中的最优切割问题，需在满足订单目标尺寸（考虑允许误差范围）和避开原材料缺陷的前提下，尽量减少切割损失。目标是在剩余原材料长度内，最大化满足订单需求。 模型假设 1. 原材料为规则长条形，其长度已知。 2. 锯口宽度固定且已知。 3. 缺陷位置和大小虽随机，但在切割前可检测确定。 4. 每个窗框的切割是独立的，不考虑切割顺序对切割损失的影响。 符号说明 - $n$：订单数量，本题中 $n = 1$。 - $m_i$：第 $i$ 个订单的订单量，本题中 $m_1 = 10$。 - $w_{i}^{target}$：第 $i$ 个订单窗框的目标宽度，本题中 $w_{1}^{target}=1.6$ 米。 - $h_{i}^{target}$：第 $i$ 个订单窗框的目标高度，本题中 $h_{1}^{target}=2.2$ 米。 - $\Delta w_{i}$：第 $i$ 个订单窗框宽度的允许误差范围。 - $\Delta h_{i}$：第 $i$ 个订单窗框高度的允许误差范围。 - $s$：锯口宽度。 - $L$：原材料的长度。 - $x_{ij}$：第 $i$ 个订单的第 $j$ 个窗框的实际切割宽度。 - $y_{ij}$：第 $i$ 个订单的第 $j$ 个窗框的实际切割高度。 - $z_{ij}$：第 $i$ 个订单的第 $j$ 个窗框是否成功切割（$1$ 表示成功切割，$0$ 表示未切割）。 - $p_i$：第 $i$ 个订单窗框的单价，本题中 $p_1 = 4$ 元/套。 目标函数 目标是在满足订单需求的前提下，最大化订单的总价值，同时尽量减少切割损失。切割损失可以用原材料剩余长度来衡量。 $$ \max \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m_i}p_iz_{ij}-\alpha\left(L - \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m_i}(2x_{ij}+2y_{ij}+4s)z_{ij}\right) $$ 其中 $\alpha$ 是一个权重系数，用于平衡满足订单需求和减少切割损失的重要性。 约束条件 1. 尺寸约束 - 宽度约束：$w_{i}^{target}-\Delta w_{i}\leq x_{ij}\leq w_{i}^{target}+\Delta w_{i}$，$i = 1,\cdots,n$，$j = 1,\cdots,m_i$。 - 高度约束：$h_{i}^{target}-\Delta h_{i}\leq y_{ij}\leq h_{i}^{target}+\Delta h_{i}$，$i = 1,\cdots,n$，$j = 1,\cdots,m_i$。 2. 原材料长度约束 - $\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m_i}(2x_{ij}+2y_{ij}+4s)z_{ij}\leq L$。 3. 缺陷避让约束 - 切割位置不能位于缺陷区域内。假设缺陷区域用区间 $[a_k,b_k]$ 表示，$k = 1,\cdots,K$（$K$ 为缺陷数量），则切割位置不能落在这些区间内。 4. 整数约束 - $z_{ij}\in\{0,1\}$，$i = 1,\cdots,n$，$j = 1,\cdots,m_i$。 Python 代码实现 ```python import pulp # 订单信息 n = 1 m = [10] w_target = [1.6] h_target = [2.2] p = [4] # 锯口宽度 s = 0.01 # 假设锯口宽度为 0.01 米 # 原材料长度 L = 100 # 假设原材料长度为 100 米 # 允许误差范围 delta_w = [0.05] delta_h = [0.05] # 权重系数 alpha = 0.1 # 创建线性规划问题 prob = pulp.LpProblem("Window_Frame_Cutting", pulp.LpMaximize) # 定义决策变量 x = [[pulp.LpVariable(f"x_{i}_{j}", lowBound=w_target[i] - delta_w[i], upBound=w_target[i] + delta_w[i]) for j in range(m[i])] for i in range(n)] y = [[pulp.LpVariable(f"y_{i}_{j}", lowBound=h_target[i] - delta_h[i], upBound=h_target[i] + delta_h[i]) for j in range(m[i])] for i in range(n)] z = [[pulp.LpVariable(f"z_{i}_{j}", cat='Binary') for j in range(m[i])] for i in range(n)] # 目标函数 objective = pulp.lpSum([p[i] * z[i][j] for i in range(n) for j in range(m[i])]) - alpha * (L - pulp.lpSum([(2 * x[i][j] + 2 * y[i][j] + 4 * s) * z[i][j] for i in range(n) for j in range(m[i])])) prob += objective # 原材料长度约束 prob += pulp.lpSum([(2 * x[i][j] + 2 * y[i][j] + 4 * s) * z[i][j] for i in range(n) for j in range(m[i])]) <= L # 求解问题 prob.solve() # 输出结果 print("Status:", pulp.LpStatus[prob.status]) for i in range(n): for j in range(m[i]): if pulp.value(z[i][j]) == 1: print(f"订单 {i + 1} 的第 {j + 1} 个窗框：宽度 = {pulp.value(x[i][j])} 米，高度 = {pulp.value(y[i][j])} 米") print("总价值:", pulp.value(prob.objective)) ``` 代码解释 1. 订单信息：定义了订单数量、订单量、目标宽度、目标高度、窗框单价等信息。 2. 锯口宽度和原材料长度：假设锯口宽度为 0.01 米，原材料长度为 100 米。 3. 允许误差范围：假设宽度和高度的允许误差范围均为 0.05 米。 4. 权重系数：用于平衡满足订单需求和减少切割损失的重要性。 5. 线性规划问题：使用 `pulp` 库创建线性规划问题，目标是最大化订单总价值并减少切割损失。 6. 决策变量：定义了窗框的实际切割宽度、高度和是否切割的二进制变量。 7. 目标函数和约束条件：根据模型的目标函数和约束条件添加到线性规划问题中。 8. 求解问题：调用 `prob.solve()` 求解线性规划问题。 9. 输出结果：输出问题的求解状态、每个窗框的实际切割尺寸和总价值。 注意事项 - 代码中假设了锯口宽度、原材料长度和允许误差范围，实际应用中需要根据具体情况进行调整。 - 缺陷避让约束在代码中未具体实现，需要根据实际的缺陷位置和大小进行添加。 [2025-06-19 16:53:23 | AI问答 | 1775点数解答]