四个矩阵连乘：动态规划算出最少乘法次数 16000 及组合方案 (A1(A2A3))A4

要计算矩阵连乘积所需的最少乘法次数，可以使用动态规划的方法。 设矩阵\(A_i\)的维数为 \(p_{i - 1} \times p_{i}\) ，\(1\leq i\leq n\) 。 定义 \(m[i][j]\) 表示计算 \(A_iA_{i + 1} \cdots A_j\) 所需的最少乘法次数。 则 \(m[i][j]\) 的计算方式为： \[ m[i][j] = \begin{cases} 0 & \text{ if } i = j \\ \min_{i \leq k < j} \{ m[i][k] + m[k + 1][j] + p_{i - 1}p_{k}p_{j} \} & \text{ if } i < j \end{cases} \] 对于给定的矩阵维数： \[ \begin{align*} &a1: 40\times 30\\ &a2: 30\times 20\\ &a3: 20\times 10\\ &a4: 10\times 5 \end{align*} \] 计算过程如下： \[ \begin{align*} m[1][1] &= 0\\ m[1][2] &= 40\times 30\times 20 = 24000\\ m[2][2] &= 0\\ m[2][3] &= 30\times 20\times 10 = 6000\\ m[3][3] &= 0\\ m[3][4] &= 20\times 10\times 5 = 1000\\ m[4][4] &= 0\\ \end{align*} \] \[ \begin{align*} m[1][3] &= \min\{ m[1][1] + m[2][3], m[1][2] + m[3][3] \} + 40\times 20\times 10\\ &= \min\{ 0 + 6000, 24000 + 0 \} + 8000\\ &= \min\{ 6000, 24000 \} + 8000\\ &= 6000 + 8000 = 14000\\ \end{align*} \] \[ \begin{align*} m[1][4] &= \min\{ m[1][1] + m[2][4], m[1][2] + m[3][4], m[1][3] + m[4][4] \} + 40\times 10\times 5\\ &= \min\{ 0 + 1000, 24000 + 1000, 14000 + 0 \} + 2000\\ &= \min\{ 1000, 25000, 14000 \} + 2000\\ &= 14000 + 2000 = 16000 \end{align*} \] 最少乘法次数为 \(16000\) ，组合方案为 \( (A1(A2A3))A4\) 。 ######[AI写代码神器 | 773点数解答 | 2024-11-14 09:15:48]