n×n上三角矩阵按列为主序压缩存储：a[i][j]在一维数组b中的位置公式揭秘

在$n \times n$的上三角矩阵$A$中，元素$a[i][j]$（其中$0 \leq i \leq j < n$）被压缩存储到一维数组$b$中。若按列为主序存储，我们需要计算元素$a[i][j]$在数组$b$中的存储位置$k$。 首先，考虑矩阵$A$的列。由于是按列为主序存储，我们可以先确定元素$a[i][j]$在其所在列中的位置。对于第$j$列，其上面的元素（即行号小于$j$的元素）共有$j$个（因为上三角矩阵中，列号大于或等于行号）。然后，在第$j$列中，元素$a[i][j]$是从上往下数的第$i+1$个元素（注意数组和矩阵的索引通常从0开始，但在这里为了解释方便，我们先按从1开始计数，最后再转换为从0开始的索引）。 由于我们实际上是在计算一维数组$b$中的位置，我们需要考虑前面所有列的元素数量。对于第$j$列之前的所有列（即第0列到第$j-1$列），这些列中元素的总数是： $0 + 1 + 2 + \ldots + (j-1) = \frac{j(j-1)}{2}$（这是等差数列求和公式） 然后，在第$j$列中，元素$a[i][j]$是从上往下数的第$i+1$个元素（按从1开始计数）。在数组$b$中，元素$a[i][j]$之前的元素总数是： $\frac{j(j-1)}{2} + i$（注意这里$i$是从0开始的索引，所以不需要加1） 由于数组$b$的索引也是从0开始的，所以元素$a[i][j]$在数组$b$中的存储位置$k$应该是： $k = \frac{j(j-1)}{2} + i$ 这就是元素$a[i][j]$按列为主序存储在一维数组$b$中的位置公式。注意，这个公式适用于上三角矩阵，并且假设数组和矩阵的索引都是从0开始的。如果索引从1开始，那么公式中的$i$和$j$都需要相应地加1（但在最后转换为数组索引时又要减1，所以结果仍然是这个公式）。 ######[AI写代码神器 | 538点数解答 | 2024-11-13 00:38:53]