三阶行列式计算与齐次线性方程组通解：经典题目及详细答案过程

11. 三阶行列式计算 题目：计算以下三阶行列式的值： $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$ 答案过程： 首先，我们按照三阶行列式的定义，选择第一行第一列的元素1作为主元素，然后计算其对应的代数余子式。 代数余子式 $M_{11}$ 为： $M_{11} = \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 5 \times 9 - 6 \times 8 = 45 - 48 = -3$ 然后，计算 $D$ 的值： $D = 1 \times (-3) - 2 \times \text{（第二行第一列的代数余子式）} + 3 \times \text{（第三行第一列的代数余子式）}$ 由于第二行和第三行的元素与第一行成比例（即每一列的元素都是第一列的3倍），所以它们的代数余子式都为0。因此： $D = 1 \times (-3) = -3$ 12. 齐次线性方程组的通解 题目：求齐次线性方程组 $\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \\ 3x_1 + 6x_2 - 3x_3 = 0 \\ x_1 - x_2 + x_3 = 0 \end{cases}$ 的通解。 答案过程： 首先，将方程组写成矩阵形式： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 6 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ 然后，对系数矩阵进行行变换，化为行最简形： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 2 \end{pmatrix}$ （注意：这里省略了行变换的具体步骤） 接下来，解出自由变量。从行最简形可以看出，$x_2$ 和 $x_3$ 是自由变量，可以取任意值。 令 $x_2 = k_1$，$x_3 = k_2$，则 $x_1 = -2k_1 + k_2$。 方程组的通解为： $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = k_1 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ 其中 $k_1, k_2 \in \mathbb{R}$。 ######[AI写代码神器 | 744点数解答 | 2024-07-03 15:05:20]