三阶行列式计算与齐次线性方程组通解：题目及详细答案过程揭秘

11. 三阶行列式计算 题目：计算三阶行列式 $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$ 答案过程： 首先，我们按照三阶行列式的定义，选择第一行第一列的元素 $a_{11} = 1$ 进行展开，得到： $D = 1 \times \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}$ 然后，计算二阶行列式的值： $\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 5 \times 9 - 6 \times 8 = 45 - 48 = -3$ $\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = 4 \times 9 - 6 \times 7 = 36 - 42 = -6$ $\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 4 \times 8 - 5 \times 7 = 32 - 35 = -3$ 将二阶行列式的值代入原式，得到： $D = 1 \times (-3) - 2 \times (-6) + 3 \times (-3) = -3 + 12 - 9 = 0$ 12. 齐次线性方程组的通解 题目：求齐次线性方程组 $\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 0 \\ 3x_1 + 6x_2 - 3x_3 = 0 \\ x_1 + 4x_2 - 5x_3 = 0 \end{cases}$ 的通解。 答案过程： 首先，将方程组写成矩阵形式： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 6 & -3 \\ 1 & 4 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ 然后，对方程组的系数矩阵进行行变换，化为行最简形： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}$ （这里省略了行变换的过程） 接着，从行最简形矩阵中，我们可以直接读出基础解系： 令 $x_3 = t$（$t$ 为自由变量），则 $x_2 = 2t$，$x_1 = t$。 方程组的通解为： $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ 其中 $t$ 为任意实数。 ######[AI写代码神器 | 819点数解答 | 2024-07-03 15:05:19]