公司员工工作小组选择方式的计算方法

### 🔍问题分析 要从\(10\)名员工中选出\(4\)名组成工作小组，且每个部门至少有\(1\)人，可分情况讨论人员在各部门的分配情况，然后根据组合数公式\(C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}\)来计算不同情况的选择方式数量，最后将所有情况的数量相加。 ### 📝具体步骤 因为总共选\(4\)人且每个部门至少\(1\)人，所以人员分配情况只能是\(2,1,1\)这种组合，接下来分三种情况讨论： - **情况一：A 部门\(2\)人，B 部门\(1\)人，C 部门\(1\)人** 从\(A\)部门\(4\)名员工中选\(2\)人的组合数为\(C_{4}^2\)，根据组合数公式可得： \[ \begin{align*} C_{4}^2&=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}\\ &=\frac{4\times3\times2!}{2!\times2!}\\ &=\frac{4\times3}{2\times1}\\ &= 6 \end{align*} \] 从\(B\)部门\(3\)名员工中选\(1\)人的组合数为\(C_{3}^1\)，可得： \[ \begin{align*} C_{3}^1&=\frac{3!}{1!(3 - 1)!}\\ &=\frac{3\times2!}{2!}\\ &= 3 \end{align*} \] 从\(C\)部门\(3\)名员工中选\(1\)人的组合数为\(C_{3}^1\)，同样为\(3\)。 根据分步乘法计数原理，这种情况下的选择方式有\(C_{4}^2\times C_{3}^1\times C_{3}^1 = 6\times3\times3 = 54\)种。 - **情况二：A 部门\(1\)人，B 部门\(2\)人，C 部门\(1\)人** 从\(A\)部门\(4\)名员工中选\(1\)人的组合数为\(C_{4}^1\)，可得： \[ \begin{align*} C_{4}^1&=\frac{4!}{1!(4 - 1)!}\\ &=\frac{4\times3!}{3!}\\ &= 4 \end{align*} \] 从\(B\)部门\(3\)名员工中选\(2\)人的组合数为\(C_{3}^2\)，可得： \[ \begin{align*} C_{3}^2&=\frac{3!}{2!(3 - 2)!}\\ &=\frac{3\times2!}{2!\times1!}\\ &= 3 \end{align*} \] 从\(C\)部门\(3\)名员工中选\(1\)人的组合数为\(C_{3}^1 = 3\)。 根据分步乘法计数原理，这种情况下的选择方式有\(C_{4}^1\times C_{3}^2\times C_{3}^1 = 4\times3\times3 = 36\)种。 - **情况三：A 部门\(1\)人，B 部门\(1\)人，C 部门\(2\)人** 从\(A\)部门\(4\)名员工中选\(1\)人的组合数为\(C_{4}^1 = 4\)。 从\(B\)部门\(3\)名员工中选\(1\)人的组合数为\(C_{3}^1 = 3\)。 从\(C\)部门\(3\)名员工中选\(2\)人的组合数为\(C_{3}^2 = 3\)。 根据分步乘法计数原理，这种情况下的选择方式有\(C_{4}^1\times C_{3}^1\times C_{3}^2 = 4\times3\times3 = 36\)种。 ### 📊汇果 根据分类加法计数原理，将上述三种情况的选择方式数量相加，可得总的选择方式有\(54 + 36 + 36 = 126\)种。 ######[AI写代码神器 | 1055点数解答 | 2026-05-06 19:48:43]