回文三位数中7的倍数个数求解与C++实现

好的，我们先一步步分析并解决这个问题。 --- ## 🧮 问题理解 - 三位数范围：100 到 999。 - 回文三位数：百位数字 = 个位数字，十位数字任意（0~9）。 - 形式：设百位为 \( a \)，十位为 \( b \)，个位为 \( a \)。 - 数值 = \( 100a + 10b + a = 101a + 10b \)。 - 其中 \( a \) 取值范围 1~9，\( b \) 取值范围 0~9。 --- ## 🔢 列出所有回文三位数 枚举 \( a \) 从 1 到 9，\( b \) 从 0 到 9，得到： \[ 101a + 10b \] 共有 \( 9 \times 10 = 90 \) 个回文三位数。 --- ## 🧐 找出其中 7 的倍数 我们需要统计满足： \[ 101a + 10b \equiv 0 \pmod{7} \] 的个数。 先化简模 7： \[ 101 \div 7 = 14 \times 7 = 98, \quad 101 - 98 = 3 \] 所以 \( 101 \equiv 3 \pmod{7} \)。 \[ 10 \equiv 3 \pmod{7} \] 条件变为： \[ 3a + 3b \equiv 0 \pmod{7} \] \[ 3(a+b) \equiv 0 \pmod{7} \] 因为 3 和 7 互质，可以两边除以 3（模 7 下 3 的逆元是 5，因为 \( 3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7} \)），得到： \[ a + b \equiv 0 \pmod{7} \] --- ## 📊 枚举符合条件的 (a, b) - \( a \) 从 1 到 9 - \( b \) 从 0 到 9 - \( a + b \) 是 7 的倍数，即 \( a+b \in \{0, 7, 14, \dots\} \)，但 \( a+b \) 最小 1，最大 18，所以可能值为 7 或 14。 --- ### 情况 1：\( a + b = 7 \) \( a \) 从 1 到 6 时，\( b = 7-a \) 在 0~9 内，成立。 - \( a=1, b=6 \) - \( a=2, b=5 \) - \( a=3, b=4 \) - \( a=4, b=3 \) - \( a=5, b=2 \) - \( a=6, b=1 \) - \( a=7, b=0 \) 也成立（因为 \( a=7, b=0 \) 时 \( a+b=7 \)） - \( a=8, b=-1 \) 不行 - \( a=9, b=-2 \) 不行 所以 \( a=1,2,3,4,5,6,7 \) 共 7 种。 --- ### 情况 2：\( a + b = 14 \) \( a \) 从 5 到 9 时，\( b = 14-a \) 在 0~9 内： - \( a=5, b=9 \) - \( a=6, b=8 \) - \( a=7, b=7 \) - \( a=8, b=6 \) - \( a=9, b=5 \) 共 5 种。 --- ## 📌 统计总数 总共 \( 7 + 5 = 12 \) 个回文三位数是 7 的倍数。 --- ## 💻 验证代码（C++） ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int count = 0; for (int a = 1; a <= 9; a++) { for (int b = 0; b <= 9; b++) { int num = 100 * a + 10 * b + a; // 回文三位数 if (num % 7 == 0) { count++; } } } cout << count << endl; return 0; } ``` 运行输出： ``` 12 ``` --- ## ✅ 答案 **回文三位数中是 7 的倍数的个数为 12。** --- ######[AI写代码神器 | 1028点数解答 | 2026-03-22 15:03:17]