巧用最小二乘法：从实验数据算出线性拟合曲线\(y = 1.53x - 63.36\)

为了求出给定实验数据的线性拟合曲线，我们需要找到最佳拟合直线 \( y = mx + b \) 的斜率 \( m \) 和截距 \( b \)。我们可以使用最小二乘法来找到这些参数。 给定的数据点为： \[ (x_1, y_1) = (165, 187), \quad (x_2, y_2) = (123, 126), \quad (x_3, y_3) = (150, 172), \quad (x_4, y_4) = (123, 125), \quad (x_5, y_5) = (141, 148) \] 首先，我们计算 \( x \) 和 \( y \) 的平均值： \[ \bar{x} = \frac{165 + 123 + 150 + 123 + 141}{5} = \frac{702}{5} = 140.4 \] \[ \bar{y} = \frac{187 + 126 + 172 + 125 + 148}{5} = \frac{758}{5} = 151.6 \] 接下来，我们计算斜率 \( m \)： \[ m = \frac{\sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})^2} \] 我们先计算分子： \[ \sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (165-140.4)(187-151.6) + (123-140.4)(126-151.6) + (150-140.4)(172-151.6) + (123-140.4)(125-151.6) + (141-140.4)(148-151.6) \] \[ = 24.6 \cdot 35.4 + (-17.4) \cdot (-25.6) + 9.6 \cdot 20.4 + (-17.4) \cdot (-26.6) + 0.6 \cdot (-3.6) \] \[ = 870.84 + 445.44 + 196.32 + 462.84 + (-2.16) = 1977.4 \] 现在计算分母： \[ \sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})^2 = (165-140.4)^2 + (123-140.4)^2 + (150-140.4)^2 + (123-140.4)^2 + (141-140.4)^2 \] \[ = 24.6^2 + (-17.4)^2 + 9.6^2 + (-17.4)^2 + 0.6^2 \] \[ = 605.16 + 302.76 + 92.16 + 302.76 + 0.36 = 1293.2 \] 斜率 \( m \) 为： \[ m = \frac{1977.4}{1293.2} \approx 1.53 \] 接下来，我们计算截距 \( b \)： \[ b = \bar{y} - m\bar{x} = 151.6 - 1.53 \cdot 140.4 = 151.6 - 214.96 = -63.36 \] 线性拟合曲线为： \[ y = 1.53x - 63.36 \]